4. Komplexe Zahlen

Wir erweitern die reellen Zahlen ℝ zu den komplexen Zahlen ℂ, sodass unser Zahlsystem die Form

ℕ  ⊆  ℤ  ⊆  ℚ  ⊆  ℝ  ⊆  ℂ

annimmt. Die komplexen Zahlen sind gegenüber den reellen Zahlen durch die uneingeschränkte Lösbarkeit von algebraischen Gleichungen ausgezeichnet. Dies wird durch die Hinzunahme einer neuen Zahl i, der sog. imaginären Einheit, erreicht, die die Eigenschaft i² = −1 erfüllt. Überraschenderweise lässt sich der neue Zahlkörper ℂ der komplexen Zahlen einfach als die Euklidische Ebene ℝ² auffassen − und speziell i als der Punkt (0, 1) −, sodass die Zahlen von ihrem „imaginären Charakter“ befreit werden: Wir rechnen mit Punkten der Ebene, so wie wir mit Punkten einer Linie rechnen.