Die Gaußsche Zahlenebene
Motiviert durch obige Überlegungen definieren wir:
Definition (komplexe Zahlen, Gaußsche Zahlenebene)
Wir setzen
ℂ = ℝ2 = { (x, y) | x, y ∈ ℝ }.
Jedes Element z = (x, y) von ℂ heißt eine komplexe Zahl. Für alle komplexen Zahlen z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) setzen wir:
z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2), (komplexe Addition)
z1 · z2 = (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2), (komplexe Multiplikation)
wobei auf der rechten Seite die reellen Operationen verwendet werden.
Die mit den Operationen + und · ausgestattete Menge ℝ2 nennen wir die Gaußsche Zahlenebene oder den Körper der komplexen Zahlen. Weiter sei
ℂ* = ℂ − { 0 }.
Wir identifizieren eine reelle Zahl x mit der komplexen Zahl (x, 0). Dadurch erreichen wir ℝ ⊆ ℂ, sodass die komplexen Zahlen die reellen Zahlen erweitern. Für alle c ∈ ℝ und z = (x, y) ∈ ℂ gilt
c z = c (x, y) = (c, 0) (x, y) = (c x − 0 y, c y + 0 x) = (cx, c y),
sodass die Multiplikation mit einem reellen ersten Faktor der üblichen Skalarmultiplikation von Vektoren entspricht.
Unsere bevorzugten Zeichen für komplexe Zahlen sind z, w, u. Je nach Kontext nennen wir ein z ∈ ℂ eine Zahl, einen Punkt oder einen Vektor der Ebene.