Realteil, Imaginärteil, Betrag und Konjugation

Als Nächstes führen wir Koordinatenfunktionen einer komplexen Zahl ein:

Definition (Real- und Imaginärteil, rein imaginär)

Sei z = (x, y)  ∈  ℂ. Dann setzen wir:

Re(z) = x, Im(z) = y.

Die reellen Zahlen Re(z) und Im(z) heißen der Realteil bzw. der Imaginärteil von z. Eine komplexe Zahl z heißt rein imaginär, falls Re(z) = 0.

Zu beachten ist, dass auch der Imaginärteil stets eine reelle Zahl ist. Die imaginäre Einheit hat zum Beispiel den Realteil 0 und den Imaginärteil 1.

Die Standarddarstellung einer komplexen Zahl liest sich nun in der Form

z = Re(z) + i Im(z).

Definition (Betrag einer komplexen Zahl)

Sei z  ∈  ℂ. Dann setzen wir

|z| = $\sqrt{Re (z)^{2} + Im (z)^{2}}$ .

Die reelle Zahl |z| heißt der Betrag von z.

Der Betrag einer komplexen Zahl z = (x, y) ist die Euklidische Länge des Vektors (x, y). Die Eigenschaften des komplexen Betrags entsprechen den aus dem Reellen bekannten Eigenschaften:

Satz (Eigenschaften des Betrags)

Für alle z, w  ∈  ℂ gilt:

(a)	\|z\| = 0 genau dann, wenn z = 0,

(b)	\|z + w\| ≤ \|z\| + \|w\|, (Dreiecksungleichung)

(c)	\|z w\| = \|z\| \|w\|. (Produktregel)

Der Nachweis dieser Eigenschaften kann dem Leser überlassen werden.

Eine sehr nützliche und häufig verwendete Funktion auf ℂ ist:

Definition (komplexe Konjugation)

Sei z  ∈  ℂ. Dann setzen wir:

z = z* = Re(z) − i Im(z).

Die komplexe Zahl z heißt die (komplex) Konjugierte von z.

Geometrisch entspricht die komplexe Konjugation der Spiegelung eines Vektors an der x-Achse. Die Notation z* ist vor allem in der Physik üblich. Für alle komplexen Zahlen gelten die Formeln

|z|² = z · z, Re(z) = $\frac{z + \bar{z}}{2}$ , Im(z) = $\frac{z - \bar{z}}{2 i}$ .

Der Leser beweise diese Formeln sowohl algebraisch als auch mit Hilfe der Multiplikationsregel.

Die komplexe Konjugation ist nützlich für die Inversenbildung. Dabei ist das Inverse z⁻¹ von z  ∈  ℂ definiert als das eindeutige w  ∈  ℂ mit z · w = 1.

Satz (multiplikative Inverse)

Sei z  ∈  ℂ mit z ≠ 0. Dann gilt

z⁻¹ = $\frac{\bar{z}}{{|z|}^{2}}$ .

Den Beweis durch Nachrechnen überlassen wir dem Leser als Übung. Geometrisch lässt sich die Formel für die Inversenbildung leicht einsehen (und merken). Denn die komplexe Zahl w auf der rechten Seite hat die Länge |z|⁻¹ und den negativen Winkel von z. Damit hat z · w die Länge |z||z|⁻¹ = 1 und den Winkel 0. Das Inverse von z entsteht also durch Spiegelung an der x-Achse und Skalierung um das Inverse des Betragsquadrats von z.

Real- und Imaginärteil, Betrag, komplexe Konjugation und Inversenbildung