Formulierungen des Fundamentalsatzes
Die Sätze über den Koeffizientenvergleich, die Polynomdivision und das Abspalten von Linearfaktoren bleiben samt ihren Beweisen für komplexe Polynome gültig. Insbesondere kann ein Polynom n-ten Grades höchstens n Nullstellen besitzen. Der Fundamentalsatz der Algebra besagt nun, dass tatsächlich n in ihrer Vielfachheit gezählte Nullstellen existieren. Es gibt viele Möglichkeiten, dieses Ergebnis zu formulieren. Eine davon ist:
Satz (Fundamentalsatz der Algebra)
Seien a0, …, an ∈ ℂ mit n ≥ 1 und an ≠ 0. Weiter sei f : ℂ → ℂ mit
f (z) = anzn + … + a1z + a0 für alle z ∈ ℂ
das zugehörige komplexe Polynom. Dann gibt es (nicht notwendig paarweise verschiedene) w1, …, wn ∈ ℂ mit
f (z) = an (z − w1) · (z − w2) · … · (z − wn) für alle z ∈ ℂ.
Kurz: Jedes komplexe Polynom zerfällt in Linearfaktoren. Oder: Jedes komplexe Polynom ist das Produkt von komplexen Geraden. Ist das Polynom normiert, so lässt es sich als Produkt von Geraden der Steigung 1 schreiben. Alternativ können wir den Fundamentalsatz auch (scheinbar schwächer) so formulieren:
Jedes komplexe Polynom vom Grad größergleich 1 besitzt mindestens eine Nullstelle.
Weiß man dies, so gewinnt man durch wiederholtes Abspalten von Linearfaktoren den Satz in der obigen Version. Schließlich können wir anstelle eines Polynoms auch eine algebraische Gleichung an zn + an − 1 zn − 1 + … + a0 = 0 mit komplexen Koeffizienten ak betrachten und den Fundamentalsatz so zum Ausdruck bringen: Jede algebraische Gleichung vom Grad n ≥ 1 hat eine komplexe Lösung. In Analogie zu obiger Version für Polynome formulieren wir:
Satz (Fundamentalsatz der Algebra, Version für algebraische Gleichungen)
Sei anzn + … + a1z + a0 = 0 eine algebraische Gleichung mit Koeffizienten a0, …, an ∈ ℂ, an ≠ 0, n ≥ 1. Dann gibt es w1, …, wn ∈ ℂ mit
anzn + … + a1z + a0 = an (z − w1) · (z − w2) · … · (z − wn).
Die Gleichung hat also genau die komplexen (nicht notwendig paarweise verschiedenen) Lösungen w1, …, wn.
Erfreulicherweise gibt es anschauliche Beweise des Fundamentalsatzes, die auf der geometrischen Bedeutung der Multiplikation beruhen. Bevor wir einen solchen Beweis vorstellen, betrachten wir einige Spezialfälle. Wir beginnen mit komplexen Quadratwurzeln und der komplexen Version der Lösungsformel für Gleichungen zweiten Grades.