Das regelmäßige Fünfeck

 Als Anwendung der komplexen Einheitswurzeln analysieren wir das regelmäßige Fünfeck (Pentagon). Sei hierzu

z  =  ζ⁵₁  =  (cos(2π/5), sin(2π/5)).

Dann sind 1,  z,  z²,  z³,  z⁴ die Ecken des regelmäßigen in den Einheitskreis einbeschriebenen Fünfecks, dem der Punkt (1, 0) angehört. Es gilt

(+)  1  +  z  +  z²  +  z³  +  z⁴  =  ^1 − z5_1 − z  =  0,

wobei wir beim ersten Gleichheitszeichen die auch in ℂ gültige Formel für die geometrische Summe bzw. konkret

(1 − z) (1  +  z  +  z²  +  z³  +  z⁴)  =  1 − z⁵

verwenden und beim zweiten Gleichheitszeichen beobachten, dass z⁵ = z⁰ = 1. Wir setzen nun

w  =  z  +  z⁴.

Dann ist w reell und weiter positiv, da

w  =  z  +  z⁴  =  z  +  z⁻¹  =  z  +  z  =  2 Re(z)  =  2 cos(2π/5)  >  0.

Weiter gilt

w² + w − 1  =  z² + 2zz⁴ + z⁸ + z + z⁴ − 1  =  1 + z + z² + z³ + z⁴  =  0.

Die Mitternachtsformel liefert wegen w > 0, dass

w  =  $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,

d. h. w ist das Inverse des goldenen Schnitts (1 + $\sqrt{5}$)/2. Wegen w = 2 Re(z) erhalten wir den Wert

cos(2π/5)  =  $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$.

Da sich der Punkt P = (($\sqrt{5}$ − 1)/4, 0) und damit ζ₁ geometrisch mit Zirkel und Lineal konstruieren lässt (Übung), haben wir unter Verwendung komplexer Zahlen gezeigt, dass Re(z) und damit z und in der Folge auch das ganze regelmäßige Pentagon mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Dies ist keineswegs klar. Ein regelmäßiges Siebeneck kann zum Beispiel nicht mehr mit Hilfe von Zirkel und Lineal konstruiert werden. Der Wert cos(2π/7) lässt sich im Gegensatz zu cos(2π/5) nicht mehr als Wurzelausdruck schreiben.