Komplexe Wurzelfunktionen

 Wir hatten unter $\sqrt{\mathrm{z}}$ irgendeine der beiden komplexen Wurzeln von z verstanden. Wenn wir eine komplexe Wurzelfunktion sqrt : ℂ → ℂ definieren wollen, müssen wir uns auf eine der beiden Wurzeln festlegen, da Funktionswerte eindeutig sind. Wir arbeiten in Polarkoordinaten mit Winkeln in [ 0, 2π [ (Variante 1) bzw. ] −π, π ] (Variante 2). Die Wurzeln einer komplexen Zahl z = (r, φ) sind w = ($\sqrt{\mathrm{r}}$, φ/2) und −w. Wir wählen w und setzen also

sqrt(z)  =  ($\sqrt{\mathrm{r}}$, φ/2)  für alle z = (r, φ)  ∈  ℂ  (polar).

Bei Variante 1 erhalten wir Winkel in [ 0, π [ , bei Variante 2 Winkel in ] −π/2, π/2]. In ersten Fall ist sqrt unstetig auf der positiven x-Achse, im zweiten unstetig auf der negativen x-Achse. Obige Farbplots veranschaulichen den beschränkten Wertebereich und die Unstetigkeits-Strahlen. In der Funktionentheorie wird die Variante 2 bevorzugt. Dort wählt man das Winkelintervall ] −π, π ] als Standard.

 Analoge Überlegungen gelten für dritte und höhere Wurzeln und viele andere Funktionen. Eine dritte Wurzelfunktion root₃ : ℂ → ℂ kann beispielsweise durch

root₃(z)  =  (r^1/3, φ/3)  für alle z = (r, φ)  ∈  ℂ  (polar).

definiert werden. Bei Variante 2 ergeben sich Winkel in ]−π/3, π/3]. Erneut ist die Funktion unstetig auf der negativen x-Achse.