Die Vektoraddition
Definition (Vektoraddition)
Sei n ≥ 1. Dann setzen wir für alle v, w ∈ ℝn:
v + w = (v1 + w1, …, vn + wn)(Addition von v und w)
Die Vektoraddition ist eine Abbildung von ℝn × ℝn nach ℝn: Je zwei Vektoren des ℝn wird ein Vektor des ℝn zugeordnet. In der Ebene und im Raum lässt sie sich in der bekannten Weise durch das Aneinanderfügen zweier Pfeile visualisieren. Für n = 2 stimmt die Vektoraddition mit der Addition komplexer Zahlen überein.
Weiter definieren wir:
Definition (inverser Vektor, Vektorsubtraktion)
Sei n ≥ 1. Dann setzen wir für alle v, w ∈ ℝn:
−v = (− v1, …, − vn),
v − w = v + (−w) = (v1 − w1, …, vn − wn).
Der Vektor − v ∈ ℝn heißt der zu v additiv inverse Vektor. Der Vektor v − w heißt der Differenzvektor der Vektoren v und w.
Die Bildung von −v lässt sich anschaulich durch die Spiegelung des Vektors v am Nullpunkt darstellen. Die Differenz v − w können wir durch den Pfeil, der von der Spitze von w zur Spitze von v zeigt, repräsentieren.
Wesentliche Eigenschaften der Vektoraddition sind:
Satz (Eigenschaften der Vektoraddition)
Sei n ≥ 1. Dann gilt für alle v, w, u ∈ ℝn:
v + (w + u) = (v + w) + u,(Assoziativität)
v + 0 = 0 + v = v,(Neutralität des Nullvektors)
v + (− v) = (− v) + v = 0,(Inversenbildung)
v + w = w + v.(Kommutativität)
Der Beweis kann dem Leser zur Übung überlassen bleiben. Insgesamt gelten die vertrauten Gesetze der Addition reeller Zahlen, und wir übernehmen entsprechende Konventionen. Aufgrund der Assoziativität können wir zum Beispiel Klammern weglassen und aufgrund der Kommutativität Vektoren einer Summe v1 + … + vn beliebig umordnen.
Beispiel
Im ℝ5 gilt −(1, 1, 2, 0, −1) = (−1, −1, −2, 0, 1), −e2 = (0, −1, 0, 0, 0).