Die Skalarmultiplikation

 Einen Vektor können wir um einen beliebigen reellen Faktor strecken oder stauchen, wobei ein negatives Vorzeichen zusätzlich eine Spiegelung am Nullpunkt bewirkt. Dieser Vorgang wird als Skalierung oder Skalarmultiplikation bezeichnet und die beteiligten reellen Faktoren nennt man entsprechend Skalare. Wir bezeichnen Skalare meistens mit griechischen Buchstaben, um sie von Vektoren zu unterscheiden. Da α, β, γ, δ oft für Winkel verwendet werden, bevorzugen wir andere Buchstaben. Häufig verwendet werden vor allem λ und μ.

Definition (Skalarmultiplikation)

Sei n ≥ 1. Dann setzen wir für alle λ  ∈  ℝ und alle v  ∈  ℝn:

λ v  =  (λ v1, …, λ vn).(Multiplikation des Vektors v mit dem Skalar λ)

 Die Skalarmultiplikation ist eine Abbildung von ℝ × ℝn nach ℝn: Jedem Skalar λ  ∈  ℝ und jedem Vektor v  ∈  ℝn wird ein Vektor λ v  ∈  ℝn zugeordnet.

 Die folgenden Eigenschaften lassen sich wieder durch Nachrechnen beweisen:

Satz (Eigenschaften der Skalarmultiplikation)

Sei n ≥ 1. Dann gilt für alle λ, μ  ∈  ℝ und alle v, w  ∈  ℝn:

(i)

1 v  =  v,

(ii)

λ (μ v)  =  (λ μ) v,

(iii)

λ (v + w)  =  λ v  +  λ w,

(iv)

(λ + μ) v  =  λ v  +  μ v.

 Weiter bemerken wir, dass − v = (−1) v für alle n ≥ 1 und alle v  ∈  ℝn gilt. Allgemein lässt sich die Multiplikation eines Vektors mit einem negativen Skalar λ als eine Skalierung um |λ| gefolgt von einer Spiegelung am Nullpunkt auffassen oder umgekehrt als Spiegelung am Nullpunkt gefolgt von einer Skalierung um |λ|.

Beispiele

(1)

Im ℝ2 gilt 2e1 = 2(1, 0) = (2, 0), −3v = (−3v1, −3v2) für alle v  ∈  ℝ2.

(2)

Für alle v = (v1, v2, v3)  ∈  ℝ3 gilt

v  =  v1 (1, 0, 0) + v2 (0, 1, 0) + v3 (0, 0, 1)  =  v1 e1 + v2 e2 + v3 e3.

(3)

Allgemein gilt für alle n ≥ 1 und v  ∈  ℝn

v  =  v1 e1 + … + vn en  =  ∑1 ≤ k ≤ n vk ek.