Die Winkelformel für das Euklidische Skalarprodukt

Unsere erste Aufgabe ist die Ermittlung der geometrischen Bedeutung des Euklidischen Skalarprodukts. Wir definieren hierzu:

Definition (eingeschlossener Winkel)

Seien v, w  ∈  ℝ² mit v, w ≠ 0. Dann setzen wir

∡(v, w) = „der von v und w eingeschlossene Winkel in [ 0, π ]“.

Der Winkel ∡(v, w) hat keine Orientierung und liegt immer zwischen 0 und π. Es gilt ∡(v, w) = ∡(w, v) und ∡(v, w) = ∡(v̂, ŵ). Der Winkel zwischen zwei Vektoren ist nicht definiert, wenn einer der Vektoren der Nullvektor ist.

Von großer Bedeutung ist:

Satz (Winkelformel)

Seien v, w  ∈  ℝ² von 0 verschieden, und sei φ = ∡(v, w). Dann gilt:

cos φ = 〈 v̂, ŵ 〉 = ^{〈 v, w 〉}_{∥v∥ ∥w∥}, φ = arccos(〈 v̂, ŵ 〉).(Winkelformel)

Zur Winkelformel: cos φ = 〈 v̂, ŵ 〉

Für alle v, w  ∈  ℝ² mit v, w ≠ 0 gilt also

〈 v, w 〉 = cos(φ) ∥v∥ ∥w∥.

Wir geben zwei Beweise für die Winkelformel. Der erste kombiniert den Kosinussatz mit der zweiten binomischen Formel für das Skalarprodukt.

Beweis mit Hilfe des Kosinussatzes

Seien v, w  ∈  ℝ² mit v, w ≠ 0. In einem Dreieck ABC mit Seiten a, b, c und Winkeln α, β, γ gilt:

a² = b² + c² − 2 cos(α) b c.(Kosinussatz)

Für das Dreieck mit den Ecken A = 0, B = w und C = v gilt

(i)	a = ∥ v − w ∥, b = ∥v∥, c = ∥w∥,

(ii)	α = ∡(v, w) = φ.

Der Kosinussatz für dieses Dreieck liest sich nun in der Form

(1) ∥ v − w ∥² = ∥v∥² + ∥w∥² − 2 cos(φ) ∥v∥ ∥w∥.

Nach der zweiten binomischen Formel für das Skalarprodukt gilt aber

(2) ∥ v − w ∥² = ∥v∥² + ∥w∥² − 2 〈 v, w 〉.

Durch Vergleich von (1) und (2) erhalten wir

cos(φ) ∥v∥ ∥w∥ = 〈 v, w 〉.

Zum Beweis der Winkelformel mit Hilfe des Kosinussatzes

Der Kosinussatz lässt sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras beweisen (das linke Diagramm enthält zwei rechtwinklige Dreiecke. Wir überlassen den Beweis dem Leser als Übung. Dabei sind neben spitzwinkligen auch stumpfwinklige Dreiecke zu betrachten. Der Kosinussatz ist für alle Dreiecke gültig.

Unser zweiter Beweis verwendet des Additionstheorem:

Beweis mit Hilfe des Additionstheorems für den Kosinus

Seien v, w  ∈  ℝ² mit v, w ≠ 0. Wir dürfen annehmen (nach evtl. Vertauschung von v und w), dass es x₁, y₁, x₂, y₂, φ₁, φ₂  ∈  ℝ gibt mit

(i)	v̂ = (x₁, y₁) = (cos φ₁, sin φ₁),

(ii)	ŵ = (x₂, y₂) = (cos φ₂, sin φ₂),

(iii)

φ₁ ≤ φ₂ ≤ φ₁ + π.

Dann ist

φ = φ₂ − φ₁ = ∡(v, w).

Nach dem Additionstheorem für den Kosinus gilt

cos φ	= cos(φ₂ − φ₁)
	= cos φ₂ cos φ₁ − sin φ₂ sin (−φ₁)
	= cos φ₁ cos φ₂ + sin φ₁ sin φ₂
	= x₁ x₂ + y₁ y₂
	= 〈 v̂, ŵ 〉.

Wir betrachten nun einige Anwendungen der Winkelformel.

1. Die Ungleichung von Cauchy-Schwarz

Aus der Winkelformel ergibt sich wegen cos φ  ∈  [ −1, 1 ] noch einmal die Ungleichung von Cauchy-Schwarz. Denn für v = 0 oder w = 0 ist die Ungleichung klar und für v, w ≠ 0 ist

|〈 v, w 〉| = |cos φ| ∥v∥ ∥w∥ ≤ ∥v∥ ∥w∥.

2. Der Kosinussatz

Ist die Winkelformel in irgendeiner Art und Weise einmal bewiesen, so ergibt sich aus ihr der Kosinussatz. Denn mit den Bezeichnungen des obigen Beweises gilt für ein Dreieck ABC mit den Ecken A = 0, B = w und C = v:

a²	= ∥ v − w ∥²
	= ∥v∥² + ∥w∥² − 2 〈 v, w 〉.
	= ∥v∥² + ∥w∥² − 2 cos(α) ∥v∥ ∥w∥
	= b² + c² − 2 cos(α) b c.

3. Orthogonalität

Definition (orthogonal, aufeinander senkrecht stehen)

Seien v, w  ∈  ℝ². Wir sagen, dass v und w orthogonal sind oder aufeinander senkrecht stehen, falls 〈 v, w 〉 = 0.

Die Orthogonalität ist auch für Nullvektoren erklärt. Der Nullvektor ist orthogonal zu jedem Vektor der Ebene. Für vom Nullvektor verschiedene Vektoren v, w mit eingeschlossenem Winkel φ  ∈  [ 0, π ] ist die Orthogonalität nach der Winkelformel äquivalent zu cos φ = 0 und damit zu φ = π/2.

4. Kollinearität

Definition (kollinear, parallel, antiparallel)

Seien v, w  ∈  ℝ². Wir sagen, v und w sind

kollinear,	falls	\|〈 v, w 〉\| = ∥v∥ ∥w∥,
parallel,	falls	〈 v, w 〉 = ∥v∥ ∥w∥,
antiparallel,	falls	〈 v, w 〉 = − ∥v∥ ∥w∥.

Die Ungleichung von Cauchy-Schwarz ist also genau für kollineare Vektoren eine Gleichung. Für v, w ≠ 0 entsprechen die drei Begriffe „kollinear, parallel, antiparallel“ nach der Winkelformel genau den eingeschlossenen Winkeln φ  ∈  { 0, π }, φ = 0, φ = π.

Beispiele

(1)	Der Nullvektor ist mit jedem v  ∈  ℝ² kollinear.

(2)	Die Vektoren (1, 4) und (−2, −8) sind antiparallel und damit kollinear. Für alle y ≠ 8 sind die Vektoren (1, 4) und (2, y) nicht kollinear.

Der folgende Satz, dessen Beweis wir dem Leser zur Übung überlassen, versammelt einige Äquivalenzen zur Kollinearität zweier Vektoren.

Satz (Kriterien für Kollinearität)

Seien v, w  ∈  ℝ². Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a)	Die Vektoren v, w sind kollinear.

(b)	v = 0 ∨ ∃λ  ∈  ℝ λv = w.

(c)	∃λ, μ  ∈  ℝ (λv + μ w = 0 ∧ (λ ≠ 0 ∨ μ ≠ 0)).

(d)	v, w liegen auf einer gemeinsamen Geraden durch 0, d. h. es gibt ein u  ∈  ℝ² mit u ≠ 0 und v, w  ∈  G(u) = { λu \| λ  ∈  ℝ }.

Sind v, w ≠ 0, so sind v, w genau kollinear, wenn G(v) = G(w). Da der Nullvektor keine Gerade definiert, ist die Voraussetzung v, w ≠ 0 wichtig.

5. Die orthogonale Projektion

Definition (orthogonale Projektion)

Wir setzen für alle u, v  ∈  ℝ²:

pr_u(v) = 〈 û, v 〉 û.(Projektionsformel)

Der Vektor pr_u(v)  ∈  ℝ² heißt die (orthogonale) Projektion des Vektors v auf den Vektor u.

Die Projektionen der Vektoren v₁ und v₂ auf den Vektor u

Die Vektoren u und pr_u(v) sind nach Definition kollinear. Die Bezeichnung als orthogonale Projektion wird dadurch erklärt, dass pr_u(v) und w = v − pr_u(v) aufeinander senkrecht stehen:

〈 pr_u(v), w 〉	= 〈 pr_u(v), v 〉 − 〈 pr_u(v), pr_u(v) 〉
	= 〈 〈 û, v 〉 û, v 〉 − 〈 〈 û, v 〉 û, 〈 û, v 〉 û 〉
	= 〈 û, v 〉 〈 û, v 〉 − 〈 û, v 〉 〈 û, v 〉 〈 û, û 〉
	= 〈 û, v 〉² − 〈 û, v 〉² = 0.

Als Merkhilfe können wir verwenden:

Zur Struktur der Projektionsformel

(1)	Die Projektion von v auf u ist unabhängig von der Länge von u und damit ein skalares Vielfaches von û.

(2)	Die Projektion von λv auf u ist das λ-fache der Projektion von v auf u.

Dies erklärt das Vorhandensein bzw. Fehlen der Normen bei u bzw. v.

Ist der Vektor u normiert, so gilt pr_u(v) = 〈 u, v 〉 u und damit

∥ pr_u(v) ∥ = |〈 u, v 〉|.

Der Betrag des Skalarprodukts von u und v ist in diesem wichtigen Fall also die Euklidische Länge der Projektion von v auf u. Allgemein gilt ∥ pr_u(v) ∥ = |〈 û, v 〉|.

Wir halten noch fest: Die Vektoren u und v sind genau dann orthogonal, wenn

pr_u(v) = pr_v(u) = 0,

und genau dann kollinear, wenn

pr_u(v) = v und pr_v(u) = u.