Matrizen als lineare Abbildungen

Wir verfolgen nun das Motiv, dass eine Matrix A vermöge „v wird abgebildet auf Av“ eine Abbildung der Ebene in sich selbst definiert, genauer. Hierzu definieren wir den grundlegenden Begriff einer linearen Abbildung f : ℝ² → ℝ² und zeigen, dass die linearen Abbildungen den durch die Matrizen definieren Abbildungen entsprechen. Die Matrizenmultiplikation entspricht dabei der Komposition von Abbildungen. Wir erinnern an:

Definition (zugeordnete Abbildung)

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2. Dann ist die Abbildung f_A : ℝ² → ℝ² definiert durch

f_A(v) = A v für alle v  ∈  ℝ².

Die Abbildung f_A heißt die der Matrix A zugeordnete Abbildung.

Wir haben schon verwendet, dass für alle A  ∈  ℝ^2 × 2, Vektoren v, w  ∈  ℝ² und Skalare λ, μ  ∈  ℝ gilt:

A (λ v + μ w) = λ A v + μ A w, d. h.

f_A(λ v + μ w) = λ f_A(v) + μ f_A(w).

Speziell gilt für alle v = (x, y)  ∈  ℝ²:

f_A(v) = Av = A(x, y) = A(xe₁ + ye₂) = x Ae₁ + y Ae₂.

Der Funktionswert f_A(v) ist also eine Linearkombination der Spaltenvektoren Ae₁ und Ae₂ der Matrix A. Die Skalare der Kombination sind die Komponenten von v. Damit können wir die Abbildungseigenschaften einer Matrix mit nichtverschwindender Determinante veranschaulichen:

Visualisierung der Abbildungsdynamik einer Matrix A

Wir zeichnen die Spaltenvektoren von A in eine Diagramm ein und fassen sie als neue Basisvektoren auf. Dadurch erzeugen wir ein neues Koordinatengitter. Für alle v = (x, y) ist Av der Punkt des Gitters mit den Koordinaten (x, y).

Ist die Determinante von A gleich 0, so sind die Spaltenvektoren von A kollinear. Wir können sie erneut in ein Diagramm einzeichnen, aber die beiden Vektoren erzeugen nun nur noch den Nullpunkt (im Fall A = 0) oder eine Gerade in der Ebene (im Fall A ≠ 0).

Daneben stehen uns alle Visualisierungsmöglichkeiten zur Verfügung, die wir für eine Funktion von ℂ nach ℂ diskutiert haben. Denn f_A : ℝ² → ℝ² ist eine Abbildung der Ebene in sich selbst. Beispielsweise können wir versuchen, die Wirkung von f_A durch Pfeile von v nach Av für einige v zu veranschaulichen.

Eine Matrix A mit det(A) ≠ 0 verformt das kartesische Gitter zu einem neuen Gitter. Mit Hilfe des neuen Gitters können wir die Vektoren f_A(v) = A v bestimmen.

Beispiele

(1)	Für die Nullmatrix 0 ist f₀(v) = 0  ∈  ℝ² für alle v  ∈  ℝ², d. h. f₀ bildet jeden Vektor der Ebene auf den Nullvektor der Ebene ab.

(2)	Für die Einheitsmatrix E₂ gilt f_E₂(v) = v für alle v  ∈  ℝ², sodass die zugeordnete Abbildung die Identität auf ℝ² ist.

(3)	Sei A = ((1, 0); (0, 0)). Dann gilt Av = (v₁, 0) für alle v  ∈  ℝ². Die Abbildung f_A ist also die orthogonale Projektion eines Vektors v auf die x-Achse, d. h. es gilt f_A = pr_e₁.

Die Abbildung f_A : ℝ² → ℝ² erlaubt eine neue Sicht auf ein lineares Gleichungssystem: Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems A v = u ist das Urbild der Menge { u } unter der Abbildung f_A. Genau diejenigen Vektoren der Ebene, die durch f_A auf u abgebildet werden, lösen das Gleichungssystem. Die Urbildmenge einer einelementigen Menge ist auch als Faser der Abbildung bekannt. Damit ist also L die Faser von u unter der Abbildung f_A.

Der enge Zusammenhang zwischen A und f_A wird weiter vertieft durch:

Satz (Matrizenmultiplikation als Komposition)

Für alle A, B  ∈  ℝ^2 × 2 gilt f_A B = f_A ∘ f_B.

Der Beweis des Satzes sei dem Leser zur Übung empfohlen. Wichtig ist die Reihenfolge der Komposition: f_A B = f_A ∘ f_B, aber f_B A = f_B ∘ f_A.

Lineare Abbildungen

Wir betrachten nun allgemein:

Definition (lineare Abbildung)

Eine Abbildung f : ℝ² → ℝ² heißt linear, falls für alle v, w  ∈  ℝ² und alle λ, μ  ∈  ℝ gilt:

f(λ v + μ w) = λ f (v) + μ f (w).(Linearitätsbedingung)

Alle Abbildungen der Form f_A : ℝ² → ℝ² sind linear. Der folgende grundlegende Satz besagt, dass es keine weiteren Beispiele gibt:

Satz (Hauptsatz über lineare Abbildungen und Matrizen)

Sei f : ℝ² → ℝ² linear. Dann gibt es genau ein A  ∈  ℝ^2 × 2 mit f = f_A.

Beweis

zur Existenz:

Wir setzen A = (f (e₁); f (e₂)), d. h. die Spalten von A sind die Bilder der kanonischen Basisvektoren e₁ und e₂ unter f. Dann gilt A e₁ = f (e₁) und A e₂ = f (e₂). Folglich gilt für alle v = (x, y)  ∈  ℝ²:

f_A(v)	= f_A(x e₁ + y e₂) = x f_A(e₁) + y f_A(e₂)
	= x f (e₁) + y f (e₂) = f (x e₁ + y e₂) = f (v).

zur Eindeutigkeit:

Seien A, B  ∈  ℝ^2 × 2 mit f_A = f = f_B. Dann gilt

A e₁ = f_A(e₁) = f_B(e₁) = B e₁,

sodass die erste Spalte von A mit der ersten Spalte von B übereinstimmt. Analog zeigt eine Multiplikation mit e₂, dass die zweiten Spalten der Matrizen A und B übereinstimmen. Damit gilt A = B.

Mit Hilfe des Ergebnisses lässt sich die Assoziativität der Matrizenmultiplikation elegant aus der Assoziativität der Komposition von Abbildungen folgern. Für alle Matrizen A, B, C gilt

f_A(BC) = f_A ∘ (f_BC) = f_A ∘ (f_B ∘ f_C) = (f_A ∘ f_B) ∘ f_C = f_AB ∘ f_C = f_(AB)C.

Aus der Eindeutigkeit der Darstellung folgt A(BC) = (AB)C. Damit wird der Beweis durch Nachrechnen durch ein Argument vom höheren Standpunkt ergänzt.

Aus dem Beweis ergibt sich:

Wir können die darstellende Matrix einer linearen Abbildung finden, indem wir die Bilder der kanonischen Basisvektoren bestimmen und als Spalten in eine Matrix schreiben.

Wir betrachten einige Beispiele hierzu.

Projektionsmatrizen

Sei u  ∈  ℝ² mit u ≠ 0. Dann ist die orthogonale Projektion pr_u : ℝ² → ℝ², die einen Vektor v auf pr_u(v) = 〈 û, v 〉 û abbildet, linear. Wir nehmen zur Vereinfachung der Notation an, dass u normiert ist. Dann gilt

pr_u(e₁) = 〈 u, e₁ 〉 u = u₁ u = (u₁², u₁u₂),

pr_u(e₂) = 〈 u, e₂ 〉 u = u₂ u = (u₁u₂, u₂²).

Damit erhalten wir die symmetrische Matrix

A_u = $( \begin{matrix} u_{1}^{2} & u_{1} u_{2} \\ u_{1} u_{2} & u_{2}^{2} \end{matrix} )$

als darstellende Matrix. Matrizen dieser Form heißen Projektionsmatrizen. Wir können diese Matrizen auch anders gewinnen, indem wir schreiben

pr_u(v) = 〈 u, v 〉 u = (u₁ v₁ + u₂ v₂) $( \begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} u_{1}^{2} & u_{1} u_{2} \\ u_{1} u_{2} & u_{2}^{2} \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix} )$ .

Eine Projektionsmatrix A_u besitzt die Determinante 0. Alle Vektoren der Ebene werden durch A_u auf die von u erzeugte Gerade abgebildet.

Die Projektion A_u auf den Vektor u = (2, 2/3) visualisiert als Pfeildiagramm.

Mit λ = 1/10 gilt û = $\sqrt{λ}$ (3, 1), A_ue₁ = λ (3, 9) und A_ue₂ = λ (3, 1).

Rotationsmatrizen

Sei φ  ∈  ℝ. Die Abbildung rot_φ : ℝ² → ℝ², die einen Vektor v  ∈  ℝ² um einen Winkel φ gegen den Uhrzeigersinn dreht, ist linear. Es gilt

f (e₁) = (cos φ, sin φ), f (e₂) = rot_π/2(f (e₁)) = (−sin φ, cos φ).

Für die darstellende Matrix A_φ = A_{rot_φ} gilt also

A_φ = $( \begin{matrix} cos φ & - sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} )$ .

Die Rotation A = A_φ um den Winkel φ = 2π/7

Weitere wichtige Beispiele sind die Punktspiegelung am Nullpunkt und die Spiegelungen an Geraden durch den Ursprung. Wir diskutierenden die darstellenden Matrizen dieser Abbildungen in den Übungen.

Durch den Übergang von A zu f_A können wir die Determinante einer Matrix A anschaulich interpretieren: In den Spalten von A stehen die Bilder der kanonischen Basisvektoren. Die Basisvektoren e₁ und e₂ spannen ein Parallelogramm der Fläche 1 auf (ein Quadrat). Ihre Bilder f_A(e₁) und f_A(e₂) unter f_A spannen ein Parallelogramm der signierten Fläche det(A) auf, wobei wir eine negative Fläche als negative Orientierung der Bildvektoren interpretieren. Damit können wir zusammenfassen:

Die Determinante einer Matrix A ist ein Maß für die von der linearen Abbildung f_A bewirkte Flächenverzerrung.

Diese Verzerrung kann durch die Skalierung der Basisvektoren, durch die Veränderung des eingeschlossenen rechten Winkels und durch die Umkehr der Orientierung entstehen.

Die Determinante einer Matrix A als Maß für die Flächenverzerrung

Beispiele

(1)	Eine Projektion erzeugt ein degeneriertes Parallelogramm. Die Determinante einer Projektionsmatrix ist 0.

(2)	Eine Rotation erhält sowohl die Fläche als auch die Orientierung. Die Determinante einer Rotationsmatrix ist 1.