Die Singulärwertzerlegung

Aus der Diagonalisierung AA^t = S⁻¹DS = S^tDS der symmetrischen Matrix AA^t können wir trickreich, aber ohne großen Aufwand eine dreiteilige Zerlegung von A selbst gewinnnen, bei der in der Mitte eine Diagonalmatrix und links und rechts orthogonale Matrizen verwendet werden:

Satz (Singulärwertzerlegung)

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2 invertierbar. Weiter sei AA^t = S⁻¹DS mit S orthogonal und D = diag(λ₁, λ₂). Weiter sei

T = D^1/2SA^−t, wobei A^−t = (A⁻¹)^t, D^1/2 = diag(σ₁, σ₂) = diag( $\sqrt{λ_{1}}$ , $\sqrt{λ_{2}}$ ).

Dann ist T orthogonal und es gilt

A = S⁻¹D^1/2T.(Singulärwertzerlegung von A)

Wir können dieses sehr bedeutsame Ergebnis als Version des Spektralsatzes für nichtsymmetrische Matrizen ansehen.

Beweis

Die Matrix T ist orthogonal, da

T^t T = A⁻¹S⁻¹D^1/2D^1/2SA^−t = A⁻¹AA^tA^−t = E₂ E₂ = E₂.

Weiter ist

A = S⁻¹DSA^−t = S⁻¹D^1/2D^1/2SA^−t = S⁻¹D^1/2T.

Die Zerlegung A = S⁻¹D^1/2T ist als Singulärwertzerlegung von A bekannt und die Diagonaleinträge σ₁, σ₂ von D^1/2 heißen die Singulärwerte von A. Die Matrix A wird in drei Teile wie bei der Diagonalisierung zerlegt, wobei die äußeren Matrizen immer noch orthogonal, aber im Allgemeinen nicht mehr invers zueinander sind. Mehr können wir nicht erreichen, da wir A nicht als symmetrisch voraussetzen.

Dass das Bild des Einheitskreises unter A eine Ellipse ist, lässt sich mit Hilfe der Singulärwertzerlegung A = S⁻¹D^1/2T wie oben bei der Diagonalisierung so einsehen: Wir nehmen an, dass S und T Drehungen sind. Dann wird der Einheitskreis zunächst mit T gedreht. Seine Form bleibt dabei unverändert. Nun wird der gedrehte Kreis durch Anwendung von D^1/2 in x- und y-Richtung um die positiven Skalare σ₁ bzw. σ₂ gestreckt und damit zur achsenparallelen Ellipse E_{σ₁, σ₂}. Schließlich wird diese Ellipse mit S⁻¹ zur Ellipse E = A[ K ] gedreht. Die Spaltenvektoren von S⁻¹ sind damit Halbachsenrichtungen und die Singulärwerte von A die Längen der Halbachsen von E. Die Ellipse E ist damit vollständig durch die Matrizen S⁻¹ und D bestimmt. Da die orthogonale Matrix S⁻¹ wiederum durch ihre erste Spalte bestimmt ist, legen die vier Parameter S⁻¹(1, 1), S⁻¹(2, 1), σ₁, σ₂ die zentrische Ellipse E fest. Die Rolle der vorgeschalteten Drehung T lässt sich so beschreiben: Durchlaufen wir den Einheitskreis K mit f (t) = (cos t, sin t), t  ∈  [ 0, 2π ], so durchläuft Af (t) die Ellipse E. Die Matrix T beeinflusst dabei den Startpunkt Ae₁ des Durchlaufs. Im Fall T = E₂ beginnt der Durchlauf von E bei einem Halbachsenvektor von E (genauer bei σ₁S⁻¹e₁). Durch Änderung des Drehwinkels von T kann der Startpunkt des Durchlaufs beliebig eingestellt werden, ohne die Ellipse E_A zu verändern.

Beispiel

Seien σ₁ = 2, σ₂ = 1, φ = π/3, ψ = π/8, D = diag(σ₁, σ₂), S⁻¹ = rot_ψ, T = rot_φ. Wir setzen

A = S⁻¹ D T (Drehung um ψ, Skalierung mit D, Drehung um φ).

Die Anwendung von T gefolgt von D ergibt zunächst:

Anwendung von S⁻¹ dreht die achsenparallele Ellipse um den Winkel ψ:

Analoge Überlegungen gelten, wenn S oder T eine Spiegelung ist. Die Determinante von S oder von T kann dabei frei als 1 oder −1 gewählt werden: Multiplizieren wir die zweiten Spalten von S und T mit −1, so erhalten wir eine Singulärwertzerlegung von A, bei der die Determinanten der beiden äußeren Matrizen ihr Vorzeichen gewechselt haben. Ist S eine Drehung, so entspricht das Vorzeichen von det(T) wegen

det(A) = det(S⁻¹) det(D^1/2) det(T) = σ₁ σ₂ det(T) mit σ₁, σ₂ > 0

der Orientierung der Spalten von A, also der Bilder von e₁ und e₂ unter A. Ist die Determinante von A negativ, so durchläuft Af (t)) mit obiger Parametrisierung f (t) von K die Ellipse E im Uhrzeigersinn.

Subtile Beziehungen bestehen zwischen den zu A und A^t gehörigen Ellipsen E = A[ K ] und E^t = A^t[ K ]. Wegen A^t = T⁻¹D^1/2S haben A und A^t die gleichen Singulärwerte, sodass die Ellipsen E und E^t die gleichen Halbachsenlängen σ₁ und σ₂ aufweisen. Ist v_i = S⁻¹e_i, i = 1,2, ein normierter Halbachsenvektor von E, so ist

A^t v_i = T⁻¹D^1/2SS⁻¹ e_i = T⁻¹D^1/2e_i = σ_iT⁻¹e_i

ein Halbachsenvektor von E^t.

Die Ellipsen von A und A^t für A = ((1, −1); (3, 2/3))