Lineare Unabhängigkeit

Drei Vektoren des ℝ³ liegen genau dann in einer gemeinsamen Ebene E, wenn einer der drei Vektoren im Spann der beiden anderen Vektoren liegt. (Wir diskutieren diese anschaulich klare Aussage in den Übungen.) Eine weitere äquivalente Bedingung gibt der folgende Satz.

Satz (nichttriviale Nulldarstellung))

Seien v, w, u  ∈  ℝ³. Dann sind äquivalent:

(a)	v  ∈  span(u, w) oder w  ∈  span(v, u) oder u  ∈  span(v, w).

(b)	∃λ₁, λ₂, λ₃  ∈  ℝ (λ₁ v + λ₂ w + λ₃ u = 0 ∧ (λ₁, λ₂, λ₃) ≠ (0, 0, 0)).

Beweis

(a) impliziert (b): Es gelte also

v  ∈  span(u, w) oder w  ∈  span(v, u) oder u  ∈  span(v, w).

Ist v  ∈  span(w, u), so gibt es λ₂, λ₃  ∈  ℝ mit

v = λ₂ w + λ₃ u.

Dann ist aber

1 v + (−λ₂) w + (−λ₃) u = 0

eine Darstellung des Nullvektors, deren Koeffizienten nicht alle gleich Null sind. Analoges gilt, falls w  ∈  span(v, u) oder u  ∈  span(v, w).

(b) impliziert (a): Seien also λ₁, λ₂, λ₃  ∈  ℝ nicht alle gleich 0 derart, dass

λ₁ v + λ₂ w + λ₃ u = 0.

Ist λ₁ ≠ 0, so gilt

v = ⁻¹_λ₁ (λ₂ w + λ₃ u) = ^−λ₂_λ₁ w + ^−λ₃_λ₁ u  ∈  span(w, u).

Die beiden anderen Fälle λ₂ ≠ 0 und λ₃ ≠ 0 sind analog.

Die Negation der Aussage (b) besagt, dass sich der Nullvektor nur trivial in der Form

0 = 0 v + 0 w + 0 u(triviale Nulldarstellung)

mit Hilfe der drei Vektoren v, w, u kombinieren lässt. Diese Form wird in der Linearen Algebra heute bevorzugt verwendet, um zum Ausdruck zu bringen, dass zwischen Vektoren keine linearen Abhängigkeitsverhältnisse bestehen. Wir definieren allgemein:

Definition (linear unabhängig)

Sei n ≥ 1, und seien v₁, …, v_k  ∈  ℝⁿ. Dann heißen die Vektoren v₁, …, v_k linear unabhängig, falls gilt:

∀λ₁, …, λ_k  ∈  ℝ (λ₁ v₁ + … + λ_k v_k = 0 → λ₁ = … = λ_k = 0).

Andernfalls heißen sie linear abhängig.

Genauer sollten wir sagen: „Das k-Tupel (v₁, …, v_k) ist linear unabhängig.“ Denn die lineare Unabhängigkeit kommt den Vektoren v₁, …, v_k als Ganzes zu und nicht jedem einzelnen Vektor. Die Sprechweise „Die Vektoren v₁, …, v_k sind linear unabhängig“ ist also etwas ungenau, aber sprachlich einfacher.

Lineare Unabhängigkeit in der Ebene

(1)	Ein Vektor v  ∈  ℝ² ist genau dann linear unabhängig, wenn v ≠ 0.

(2)	Zwei Vektoren v, w  ∈  ℝ² sind genau dann linear unabhängig, wenn v, w nicht kollinear sind,  d. h. nicht auf einer Geraden liegen.

(3)	Drei Vektoren v, w, u  ∈  ℝ² sind stets linear abhängig.

Lineare Unabhängigkeit im dreidimensionalen Raum

(1)	Ein Vektor v  ∈  ℝ³ ist genau dann linear unabhängig, wenn v ≠ 0.

(2)	Zwei Vektoren v, w  ∈  ℝ³ sind genau dann linear unabhängig, wenn v, w nicht kollinear sind, d. h. nicht auf einer Geraden liegen.

(3)	Drei Vektoren v, w, u  ∈  ℝ³ sind genau dann linear unabhängig, wenn v, w, u nicht in einer Ebene liegen.

(4)	Vier Vektoren v, w, u, u′  ∈  ℝ³ sind stets linear abhängig.

Eine nichttriviale Nulldarstellung: v + w + 3u = 0

Zur linearen Abhängigkeit des Nullvektors beobachten wir, dass 1 · 0 = 0 eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors ist. Im ℝ² sind drei und mehr Vektoren immer linear abhängig, da zwei linear unabhängige Vektoren die gesamte Ebene aufspannen. Ebenso sind im ℝ³ vier und mehr Vektoren stets linear abhängig.