Determinanten

Wir führen nun Determinanten in Analogie zur Ebene ein. Das dreidimensionale Analogon zu dem von zwei Vektoren der Ebene aufgespannten Parallelogramm ist:

Definition (aufgespanntes Parallelepiped, Spat)

Seien v, w, u  ∈  ℝ³. Dann heißt die Menge

P = { λ₁ v + λ₂ w + λ₃ u | λ₁, λ₂, λ₃  ∈  [ 0, 1 ] } ⊆ ℝ³

das von v, w, u aufgespannte Parallelepiped oder der von v, w, u aufgespannte Spat.

Der von v, w, u aufgespannte Spat P

Wir bestimmen nun das orientierte Volumen V(P) des von v, w, u aufgespannten Parallelepipeds P. Das Vorzeichen von V(P) soll dabei wieder der Orientierung der drei Vektoren entsprechen, die wir in Analogie zur Ebene so erklären können:

Definition (Orientierung im ℝ³)

Seien v, w, u  ∈  ℝ³ linear unabhängig, und sei ψ = ∡(v × w, u). Dann heißt (v, w, u) positiv orientiert, wenn ψ  ∈  [ 0, π/2 [ , und negativ orientiert, wenn ψ  ∈  ] π/2, π ].

Die positive Orientierung von (v, w, u) besagt anschaulich, dass die Vektoren u und v × w im gleichen durch die Ebene span(v, w) definierten Halbraum des ℝ³ liegen. Das Kreuzprodukt v × w spielt in der Begriffsbildung die Rolle des Vektors v_⊥ = rot_π/2(v) der Orientierung in der Ebene. Die positive Orientierung von (v, w, u) ist äquivalent dazu, dass das Tripel (v, w, u) ein Rechtssystem ist. Die Orientierung lässt sich aber ohne Verwendung von Rotationen erklären.

Für die Grundfläche f und die gemäß dem Vektor v × w orientierte Höhe h des Spats P gilt

f = ∥ v × w ∥, h = cos(ψ) ∥ u ∥, wobei ψ = ∡(v × w, u).

Damit erhalten wir das orientierte Volumen

V(P) = f h = ∥ v × w ∥ cos(ψ) ∥ u ∥ = 〈 v × w, u 〉.

Wir definieren:

Definition (Determinante)

Seien v, w, u  ∈  ℝ³. Dann heißt die reelle Zahl

det(v, w, u) = 〈 v × w, u 〉

die Determinante von (v, w, u).

Unsere Diskussion zeigt:

Volumen und lineare Abhängigkeit

Die reelle Zahl det(v, w, u) ist das orientierte Volumen des von v, w, u aufgespannten Parallelepipeds. Insbesondere ist det(v, w, u) genau dann gleich 0, wenn v, w, u linear abhängig sind.

Im Fall det(v, w, u) ≠ 0 entspricht das Vorzeichen der Determinante der Orientierung von (v, w, u). Damit ist das Volumen V(P) positiv bei einem Rechtssystem und negativ bei einem Linkssystem.

Nachrechnen zeigt:

Satz (Eigenschaften der Determinante)

Für alle v, w, v₁,v₂, w₁, w₂, u₁, u₂  ∈  ℝ³ und alle λ  ∈  ℝ gilt:

(i)	det(e₁, e₂, e₃) = 1,

(ii)	det(v, w, u) = 0, falls v = w oder v = u oder w = u,

(iii)

det(v, w, u) = − det(w, v, u) = − det(u, w, v) = − det(v, u, w),

(iv)	det(λ v, w, u) = det(v, λ w, u) = det(v, w, λ u) = λ det(v, w, u), det(v₁ + v₂, w, u) = det(v₁, w, u) + det(v₂, w, u), det(v, w₁ + w₂, u) = det(v, w₁, u) + det(v, w₂, u), det(v, w, u₁ + u₂) = det(v, w, u₁) + det(v, w, u₂).

Die Determinante ist also normiert im Hinblick auf die kanonischen Einheitsvektoren und gleich 0, wenn zwei der drei Vektoren gleich sind. Sie ändert das Vorzeichen, wenn wir zwei Vektoren vertauschen. Weiter ist sie linear in allen drei Komponenten.

Notation

Wir notieren Determinanten auch wieder in Matrix-Schreibweise:

det  $( \begin{matrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} \end{matrix} )$ statt det((x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂), (x₃, y₃, z₃)).

Die Vektoren werden als Spalten in die Matrix geschrieben.

Wie im zweidimensionalen Fall bleibt die Determinante unverändert, wenn wir die Vektoren als Zeilen eintragen:

det  $( \begin{matrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} \end{matrix} )$ = det  $( \begin{matrix} x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{matrix} )$ .

Diese keineswegs offensichtliche Eigenschaft lässt sich zum Beispiel mit der folgenden Regel einsehen, die allgemein für die Berechnung von Determinanten nützlich ist:

Satz (Regel von Sarrus)

Seien v = (x₁, y₁, z₁), w = (x₂, y₂, z₂), u = (x₃, y₃, z₃)  ∈  ℝ³. Dann gilt

det(v, w, u) = x₁ y₂ z₃ + x₂ y₃ z₁ + x₃ y₁ z₂ − x₃ y₂ z₁ − x₁ y₃ z₂ − x₂ y₁ z₃

Zur Regel von Sarrus: Bestimmung der Vorzeichen der sechs Summanden

Beweis

Mit den in der Motivation des Kreuzprodukts verwendeten (2 × 2)-Determinanten d₁, d₂, d₃ gilt

det(v, w, u) = 〈 v × w, u 〉 = 〈 (d₁, −d₂, d₃), (x₃, y₃, z₃) 〉.

Ausrechnen und Umordnen liefert die sechs Summanden, wobei jede Determinante ein positives und ein negatives Vorzeichen beiträgt.

Als Merkregel kann man verwenden: Das Vorzeichen des Summanden x_i y_j z_k in der Regel von Sarrus ist bestimmt durch die zyklische bzw. azyklische Anordnung der Indizes i, j, k.

Beispiele

(1)	Für v = (1, 2, 3), w = (1, 0, −1), u = (0, 1, 2) gilt det(v, w, u) = det  $( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & - 1 & 2 \end{matrix} )$ = 0 + 3 + 0 − 0 − 4 + 1 = 0. Damit sind v, w, u linear abhängig. Es gilt v − w − 2u = 0.

(2)	det  $( \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} )$ = 0 + 1 + 1 − 0 − 0 − 0 = 2. det  $( \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} )$ = 0 + 0 + 0 − 1 − 0 − 1 = −2. Die zweite Matrix entsteht durch Spaltentausch aus der ersten.