Eigenwerte und Eigenvektoren

Wie für die Dimension n = 2 definieren wir:

Definition (Eigenwerte und Eigenvektoren)

Seien A  ∈  ℝ^3 × 3, λ  ∈  ℝ und v  ∈  ℝ² mit v ≠ 0. Dann heißt λ ein Eigenwert und v ein zu λ gehöriger Eigenvektor von A, falls Av = λv.

Erneut gilt für alle A  ∈  ℝ^3 × 3, λ  ∈  ℝ und v  ∈  ℝ³ die Äquivalenz:

A v = λ genau dann, wenn (A − λE₂) v = 0.

Mit A_λ = A − λ E₃, ist also λ genau dann ein Eigenwert von A, wenn das homogene Gleichungssystem A_λ v = 0 eine vom Nullvektor verschiedene Lösung v besitzt. Dies ist genau dann der Fall, wenn det(A_λ) = 0. Wir definieren:

Definition (charakteristisches Polynom)

Sei A  ∈  ℝ^3 × 3. Dann heißt das Polynom p_A : ℝ → ℝ dritten Grades mit

p_A(λ) = det(A_λ) = det(A − λE₃) für alle λ  ∈  ℝ

das charakteristische Polynom von A.

Die Eigenwerte von A sind genau die reellen Nullstellen von p_λ. Eine Berechnung der Determinante von A_λ zeigt, dass

p_A(λ) = −λ³ + spur(A) λ² − (det(A′₁₁) + det(A′₂₂) + det(A′₃₃)) λ + det(A)

für alle λ  ∈  ℝ, wobei A′_ij die (2 × 2)-Matrix ist, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte hervorgeht.

Beispiel

Für die obere Dreiecksmatrix A = ((1, 2, 3), (0, 1, 1), (0, 0, 1)) gilt

A′₁₁ = $( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} )$ , A′₂₂ = $( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix} )$ , A′₃₃ = $( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} )$ ,

p_A(λ) = −λ³ + 3λ² − 3λ + 1 = − (λ − 1)³ für alle λ  ∈  ℝ.

Damit ist λ = 1 eine dreifache Nullstelle von A. Lösen von (A − E₃) v = 0 zeigt, dass genau die Vektoren μe₁ mit μ  ∈  ℝ* Eigenvektoren von A zum Eigenwert 1 sind. Die Matrix A ist ein Beispiel dafür, dass zu einem mehrfachen Eigenwert nicht notwendig zwei oder mehr linear unabhängige Eigenvektoren gehören müssen.

Das charakteristische Polynom einer (3 × 3)-Matrix hat stets den Grad 3. Da ein reelles Polynom ungeraden Grades eine reelle Nullstelle besitzt, erhalten wir:

Satz (Existenz von Eigenwerten)

Jede reelle (3 × 3)-Matrix besitzt mindestens einen reellen Eigenwert.

Beschreibt zum Beispiel A eine Rotation des dreidimensionalen Raumes, so sind die von Null verschiedenen Vektoren der Drehachse Eingenvektoren von A zum Eigenwert 1. Ist die Rotation echt (also nicht die Identität auf ℝ³), so gibt es keine weiteren Eigenwerte und Eigenvektoren.

Erneut gilt (mit einem etwas komplizierteren Beweis) der fundamentale:

Satz (Spektralsatz)

Sei A  ∈  ℝ^3 × 3. Dann sind äquivalent:

(a)	A ist symmetrisch.

(b)	Es gibt paarweise zueinander orthogonale Eigenvektoren v, w, u von A.

Hieraus ergibt sich erneut die Diagonalisierung A = S⁻¹ D S einer symmetrischen Matrix A und die Singulärwertzerlegung A = S⁻¹ D^1/2 T einer beliebigen Matrix A, mit D diagonal und S, T orthogonal, d. h. S⁻¹ = S^t, T⁻¹ = T^t. Die Einheitssphäre S = { v  ∈  ℝ³ | ∥v∥ = 1 } wird durch A in ein Ellipsoid E transformiert (das degeneriert ist, wenn A singulär ist). Die Singulärwerte von A sind die Halbachsen von E und die Spalten von S⁻¹ sind normierte Halbachsenrichtungen.

Beispiel

Seien B die Rotationsmatrix der Drehung um die x-Achse um φ = π/4 und D = diag(3, 2, 1). Dann gilt cos φ = sin φ = 1/ $\sqrt{2}$ und

A = B D = $( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos φ & - sin φ \\ 0 & sin φ & cos φ \end{matrix} )$ D = $( \begin{matrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & - 1 / \sqrt{2} \\ 0 & \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} \end{matrix} )$

beschreibt die Achsenskalierung gemäß D gefolgt von der Drehung B. Die Einheitssphäre wird zu einem Ellipsoid mit den Halbachsen 3, 2, 1.