Parametrisierte Kurven
Definition (Kurve, Parameter, Bahn, Spur)
Sei m ≥ 1, und sei [ a, b ] ⊆ ℝ ein reelles Intervall. Weiter sei f : [ a, b ] → ℝm stetig. Dann heißt f eine (parametrisierte) Kurve im ℝm und jedes t ∈ [ a, b ] heißt ein Parameter von f. Der Wertebereich
spur(f) = { f (t) | t ∈ [ a, b ] }
von f heißt auch die Bahn oder Spur von f.
Wir bevorzugen hier die Variable t anstelle von x, um die in vielen Fällen nützliche dynamische Interpretation einer Kurve zu unterstützen. Dabei wird t als Zeitvariable und f (t) als der Ort eines sich in der Zeit t ∈ [ a, b ] bewegenden Punktes interpretiert. Wir betonen, dass es sich um eine für die Dimensionen m = 2 und m = 3 anschauliche Interpretation handelt, die rein mathematisch nicht relevant ist. Wir können als Variable zum Beispiel auch x, y oder u verwenden, wenn wir möchten.
Wichtig ist es, eine Kurve von ihrer Spur zu unterscheiden. Aus einer Kurve ergibt sich die Spur, aber nicht umgekehrt. Beim Übergang von f zu spur(f) geht die Information verloren, wie die Spur durchlaufen wird: Durchlaufrichtung, Geschwindigkeit und Wiederholungen sind nicht mehr erkennbar.
Oft liegt eine „linienartige“ Menge P ⊆ ℝm vor, die man mit Hilfe einer Kurve analytisch beschreiben möchte. Gesucht ist eine Parametrisierung von P, d. h. eine Kurve f : [ a, b ] → ℝm, deren Spur gleich P ist. Das Standardbeispiel ist die Parametrisierung des Einheitskreises
K = { (x, y) ∈ ℝ2 | x2 + y2 = 1 }.
Der Kreis K wird durch die Kurve f : [ 0, 2π ] → ℝ2 mit
f (t) = (cos t, sin t) für alle t ∈ [ 0, 2π ]
parametrisiert. Aber auch g : [ 0, 2π ] → ℝ2 mit
g(t) = (sin t, cos t) für alle t ∈ [ 0, 2π ]
ist eine Parametrisierung von K.
Wir führen noch einige suggestive Sprechweisen ein.
Definition (Startpunkt, Endpunkt, geschlossen, offen)
Sei f : [ a, b ] → ℝm eine Kurve. Dann heißt f (a) der Startpunkt und f (b) der Endpunkt von f. Gilt f (a) = f (b), so heißt die Kurve geschlossen. Andernfalls heißt sie offen.