Gradienten
Die partiellen Ableitungen lassen sich zu einem Vektor zusammenfassen:
Definition (Gradient)
Seien n ≥ 1, P ⊆ ℝn und f : P → ℝ partiell differenzierbar an der Stelle p ∈ P. Dann heißt der Vektor
grad f (p) = (∂1f (p), …, ∂nf (p)) ∈ ℝn
der Gradient von f an der Stelle p.
Beispiel
Sei f : ℝ2 → ℝ definiert durch f(x, y) = x2 + y2 für alle (x, y) ∈ ℝ2. Dann gilt
grad f(x, y) = (2x, 2y) = 2(x, y) für alle (x, y) ∈ ℝ2.
Um die geometrische Bedeutung des Gradienten zu ermitteln, betrachten wir den Spezialfall n = 2. In Analogie zur Tangente definieren wir:
Definition (Tangentialebene)
Seien P ⊆ ℝ2 und f : P → ℝ partiell differenzierbar an der Stelle p = (x0, y0) ∈ P. Dann heißt die Funktion g : ℝ2 → ℝ mit
g(x, y) = f (p) + ∂1f (p) (x − x0) + ∂2f (p) (y − y0) für alle (x, y) ∈ ℝ2
die Tangentialebene von f an der Stelle p.
Beispiel
Sei f : ℝ2 → ℝ mit f(x, y) = −3(x2 + y2). Weiter sei p = (0, 1). Dann berechnet sich die Tangentialebene g von f an der Stelle p zu
g(x, y) = −3 − 0(x − 0) − 6(y − 1) = −6y + 3 für alle (x, y) ∈ ℝ2.
3D-Plot von f und der Tangentialebene g an der Stelle p = (0, 1)
Die Tangentialebene können wir mit Hilfe des Skalarprodukts in der Form
| g(x, y) | = f (p) + ∂1f (p) (x − x0) + ∂2f (p) (y − y0) |
| = f (p) + 〈 grad f (p), (x, y) − (x0, y0) 〉 = f (p) + 〈 grad f (p), (x, y) − p 〉 |
schreiben. Aus den geometrischen Eigenschaften des Euklidischen Skalarprodukts ergibt sich:
Geometrische Bedeutung des Gradienten
Der Gradient grad f (p) zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs von f an der Stelle p. Er steht senkrecht auf der Niveau-Linie nivf(c) für c = f (p).
Wir können uns den Gradienten als „Steigungskompass“ vorstellen. Dabei ist der Gradient im Fall n = 2 ein Vektor der Ebene, nicht des dreidimensionalen Raumes. Er zeigt in der Ebene (im Definitionsbereich von f) in Richtung des stärksten Anstiegs (des Graphen) von f. Analoge Überlegungen gelten für andere Dimensionen, sodass die geometrische Bedeutung für alle n ≥ 1 gültig bleibt.
Gradienten im 3D-Plot für die Funktion f mit f(x, y) = x2 + y2
Gradienten im Kontur-Plot für die Funktion f mit f(x, y) = xy