Vektorfelder und Differentialoperatoren
Zu den wichtigsten mehrdimensionalen Funktionen gehören die Vektorfelder, bei denen die beiden beteiligten Dimensionen übereinstimmen:
Definition (Vektorfeld)
Seien n ≥ 1 und P ⊆ ℝn. Dann heißt eine Funktion f : P → ℝn ein n-dimensionales (reelles) Vektorfeld.
Ein zweidimensionales Vektorfeld f : P → ℝ2 können wir visualisieren, indem wir an jeden Punkt p des Definitionsbereichs P von f den Vektor f (p) der Ebene anheften. Analoges gilt für dreidimensionale Vektorfelder.
Das Vektorfeld f : ℝ2 → ℝ2 mit
f(x, y) = (y, x) für alle (x, y).
Der Übersichtlichkeit halber werden die Vektoren skaliert.
Das Vektorfeld f : ℝ3 → ℝ3 mit
f(x, y, z) = (−y, x, 0) für alle (x, y, z)
Ein wichtiges Vektorfeld ist uns implizit schon begegnet:
Definition (Gradientenfeld)
Seien n ≥ 1, P ⊆ ℝn und f : P → ℝ differenzierbar. Dann heißt das n-dimensionale Vektorfeld grad f : P → ℝn mit
grad f (x) = (∂1f (x), … , ∂nf (x)) für alle x = (x1, …, xn) ∈ P
das Gradientenfeld von f.
Wir stellen nun noch einige wichtige Operatoren für skalar- und vektorwertige Funktionen im Überblick vor. Diese Operatoren sind vor allem in der Physik von Bedeutung und werden dort genauer diskutiert.
Die Gradientenbildung erzeugt ein Vektorfeld aus einer skalarwertigen Funktion. Die folgende Operation liefert umgekehrt eine skalarwertige Funktion aus einem Vektorfeld:
Definition (Divergenz)
Sei g : P → ℝn ein differenzierbares Vektorfeld. Dann definieren wir die Divergenz div g : P → ℝ des Vektorfeldes g durch
div g (x) = ∑1 ≤ j ≤ n ∂j gj(x) = ∂1 g1(x) + … + ∂n gn(x) für alle x ∈ P.
Ist p ∈ P und gilt div g (p) > 0 bzw. div g (p) < 0, so heißt p eine Quelle bzw. Senke von g. Gilt div(g)(p) = 0, so heißt g quellfrei an der Stelle p.
Ein Beispiel für eine Operation, die ein Vektorfeld in ein Vektorfeld überführt, ist:
Definition (Rotation)
Sei P ⊆ ℝ3 und g : P → ℝ3 ein dreidimensionales differenzierbares Vektorfeld. Dann definieren wir die Rotation oder das Wirbelfeld rot g : P → ℝ3 von g durch
rot g (x) = (∂2 g3(x) − ∂3 g2(x), ∂3 g1(x) − ∂1 g3(x), ∂1 g2(x) − ∂2 g1(x))
für alle x ∈ P. Ist p ∈ P mit rot g (p) = 0, so heißt g wirbelfrei an der Stelle p.
Der Nabla-Operator
Das Rechnen mit Gradient, Divergenz und Rotation wird oft übersichtlicher, wenn wir, für eine gegebene Dimension n ≥ 1, den sog. n-dimensionalen Nabla-Operator
∇ = (∂1, …, ∂n) = (∂∂x1, …, ∂∂xn)
verwenden. Wir setzen
∇ f = (∂1f, …, ∂nf) = grad f,
〈 ∇, g 〉 = 〈 (∂1, …, ∂n), (g1, …, gn) 〉 = div g,
∇ × g = (∂1, ∂2, ∂3) × (g1, g2, g3) = rot g, falls n = 3.
Dabei ist f : P → ℝ mit P ⊆ ℝn eine partiell differenzierbare skalarwertige Funktion, während g : P → ℝn, P ⊆ ℝn ein differenzierbares Vektorfeld ist. Die Rotation ∇ × g ist nur für die Dimension 3 erklärt.
Schließlich definieren wir noch:
Definition (Laplace-Operator)
Seien n ≥ 1, P ⊆ ℝn und f : P → ℝ zweimal differenzierbar. Dann ist der Laplace-Operator (angewendet auf f) definiert durch
∆ f = ∇2f = div grad f = 〈 ∇, ∇ f 〉.
Angewendet auf eine skalarwertige Funktion erzeugt der Laplace-Operator wieder eine skalarwertige Funktion (über den „Umweg“ des Gradientenfeldes). Es gilt
∆ f = ∑1 ≤ j ≤ n ∂j ∂j f = ∂1 ∂1 f + … + ∂n ∂n f,
sodass ∆ f (p) = spur(Hf(p)). Die Quadrat-Notation ∇2 ist motiviert durch
∆f = 〈 (∂1∂1, …, ∂n∂n), f 〉 = 〈 (∂1, …, ∂n), (∂1, …, ∂n) 〉 f = 〈 ∇, ∇ 〉 f.