Inhalte von Rotationsflächen

Zum Abschluss diskutieren wir noch eine Formel für den Flächeninhalt einer dreidimensionalen Rotationsfläche. Eine solche Fläche erhalten wir, indem wir die Spur einer in einer Ebene verlaufenden Kurve um eine Achse rotieren. Wir beschränken uns im Folgenden auf Kurven, die in der rechten Hälfte der x-z-Ebene verlaufen und um die z-Achse rotiert werden. Der Leser denke an das Töpfern zur Visualisierung der entstehenden Rotationsflächen.

Definition (Rotationsfläche einer Kurve)

Sei f : [ a, b ] → ℝ³ eine Kurve mit f₁(t) ≥ 0 und f₂(t) = 0 für alle t  ∈  [ a, b ]. Weiter sei f injektiv auf ] a, b [. Dann heißt f eine Rotationskurve und

ρ(f) = { (x, y, f₃(t))  ∈  ℝ³ | t  ∈  [ a, b ], x² + y² = f₁(t)² }

die durch f erzeugte Rotationsfläche.

Rotationsfläche der Kurve f : [ 0, 2π] → ℝ³ mit f (t) = (t, 0, cos t + 1/4 cos(4t) + 5/4)

Unser Ziel ist die Berechnung der Oberfläche (genauer: des Oberflächeninhalts) Ar(ρ(f)) der Fläche ρ(f).

Warnung

Ein naives Aufintegrieren von Kreisumfängen führt in der Regel zu falschen Ergebnissen. Integrieren wir zum Beispiel die Umfänge der Breitenkreise einer Kugel K mit Radius r und Mittelpunkt 0, so erhalten wir

∫^r_−r 2π  $\sqrt{r^{2} - z^{2}}$ dz = 2πr²π/2 = π²r²,

also nicht den korrekten Wert 4r²π.

Die Grundmethode „Approximation und Grenzwertbildung“ der Analysis liefert eine korrekte Formel. Approximieren wir eine Rotationskurve f : [ a, b ] → ℝ³ durch einen Polygonzug, so ist das zugehörige Rotationsgebilde aus den Mantelflächen von Kegelstümpfen (abgeschnittenen Kreiskegeln) zusammengesetzt. Die Mantelfläche eines Kegelstumpfes der Höhe h mit den Radien r₁ und r₂ berechnet sich elementargeometrisch zu

(+) π (r₁ + r₂) s, wobei s = $\sqrt{(r_{1} - r_{2})^{2} + h^{2}}$ .(Mantelflächenformel)

Die Größe s ist dabei die Länge einer Mantellinie des Kegelstumpfes.

Ein Kegelstumpf mit Radien r₁ > r₂ und Höhe h. Im Fall r₁ < r₂ verjüngt sich der Stumpf nach unten. Im Fall r₁ = r₂ ergibt sich ein Zylinder, im Fall h = 0 ein Kreisring.

Bemerkung

Die Formel (+) liefert im degenerierten Fall h = 0 die Fläche

π (r₁ + r₂) s = π (r₁ + r₂)|r₁ − r₂| = π max(r₁, r₂)² − π min(r₁, r₂)²

eines Kreisrings mit den Radien r₁ und r₂.

Ist nun p = (t_k)_k ≤ n eine stützstellenfreie Partition von [ a, b ], so ist nach (+)

Ar(p, f) = ∑_k ≤ n π(f₁(t_k) + f₁(t_k + 1)) ∥ f(t_k + 1) − f (t_k) ∥

eine Approximation an Ar(ρ(f)). Ist p sehr fein, so ist π(f₁(t_k + 1) + f₁(t_k)) für alle t  ∈  [ t_k, _k + 1 ] ungefähr gleich 2πf₁(t). Fügen wir 1/Δ_k · Δ_k mit Δ_k = t_k + 1 − t_k an die Norm an, so wird folgendes Ergebnis plausibel:

Satz (Inhalt der Rotationsfläche einer Kurve)

Sei f : [ a, b ] → ℝ³ eine stetig differenzierbare Rotationskurve. Dann gilt

Ar(ρ(f)) = ∫^b_a2 π f₁(t) ∥ f ′(t) ∥ dt.

Ist die Kurve f durch einen Graphen auf der z-Achse definiert, d. h. gibt es eine Funktion g : [ a, b ] → [ 0, ∞ [ mit

f (t) = (g(t), 0, t) für alle t  ∈  [ a, b ],

so erhalten wir die speziellere Formel

Ar(ρ(f)) = ∫^b_a2 π g(t) $\sqrt{1 + g′ (t)^{2}}$ dt.

Der Leser vergleiche die Formeln mit den entsprechenden Ergebnissen für die Längen von Kurven.

Beispiel 1: Kugeloberfläche

Sei r > 0 und f : [ 0, π ] → ℝ³ definiert durch

f (t) = r (sin t, 0, cos t) für alle t  ∈  [ 0, π ].

Dann ist ρ(f) die Oberfläche einer Kugel K mit Radius r. Die Norm der Ableitung der Kurve f ist konstant gleich r, sodass

Ar(ρ(f)) = ∫^π₀2 π r sin(t) r dt = ${- 2 r^{2} π cos t|}_{t = 0}^{t = π}$ = 4 r² π.

Beispiel 2: Oberfläche eines Torus

Seien R ≥ r > 0, und sei f : [ 0, 2π ] → ℝ³ mit

f (t) = (r cos(t) + R, 0, r sin(t)) für alle t  ∈  [ 0, 2π ].

Die Spur von f ist ein Kreis in der rechten Hälfte der x-z-Ebene mit Radius r und Mittelpunkt (R, 0, 0). Die Norm der Ableitung von f ist erneut konstant gleich r. Der durch Rotation der Kurve um die z-Achse entstehende Torus T = ρ(f) hat damit die Oberfläche

Ar(ρ(f))	= ∫^2π₀2π (r cos(t) + R) r dt
	= 2 π r ${[r sin (t) + R t]}_{t = 0}^{t = 2 π}$ = 2π r 2 π R = 4 π² r R.

Eine numerische Approximation

Zum Abschluss möchten wir die Oberfläche der Einheitssphäre

S₂ = { (x, y, z)  ∈  ℝ³ | x² + y² + z² = 1 }

noch numerisch mit Hilfe der entwickelten Theorie berechnen. Sei hierzu n ≥ 1 gegeben. Wir setzen δ = 2/n und teilen das Intervall [ −1, 1 ] der z-Achse durch die Zerlegungspunkte

t₀ = −1, t₁ = −1 + δ, t₂ = −1 + 2δ, …, t_n = 1

in n gleichlange Intervalle der Länge δ auf. Nun betrachten wir die n Kegelstümpfe der Höhe δ, deren Radien durch die Funktion g : [ −1, 1 ] → ℝ mit

g(z) = $\sqrt{1 - z^{2}}$ für alle z  ∈  [ −1, 1 ]

definiert sind. Sei also r_k = g(t_k) für alle k ≤ n. Dann ist

A_n = ∑_{0 ≤ k < n} π(r_k + r_k + 1) $\sqrt{(r_{k} - r_{k + 1})^{2} + δ^{2}}$

eine Approximation an die Oberfläche von S₂. Es gilt

lim_n A_n = 4π = 12,56637061…

Die folgende Tabelle zeigt einige gerundete Werte von A_n und 4π − A_n.

n	A_n	4π − A_n
4	11,51049	1,0559
6	12,06174	0,50463
8	12,26840	0,29797
10	12,36866	0,19771
20	12,51150	0,054871
50	12,55644	0,0099308
100	12,56367	0,0027004

Approximation der Einheitssphäre durch 4, 6, 8 und 10 gleichhohe Kegelstümpfe