Inhalt
3. Abschnitt Reelle und komplexe Zahlen
1. Die Vollständigkeit der reellen Zahlen
Modellierung eines Linearkontinuums
Obere und untere Schranken
Das Vollständigkeitsaxiom
Das Archimedische Axiom
Dichte Mengen
Anwendungen
Übungen
2. Grenzwerte für Folgen und Reihen
Folgen
Die Epsilon-Definition des Grenzwerts einer Folge
Die Limesregeln
Eine Charakterisierung der konvergenten Folgen
Unendliche Reihen
Die geometrische Reihe
Die harmonische Reihe
Konvergenzkriterien für unendliche Reihen
Übungen
3. Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Grenzwerte bei Funktionen
Stetigkeit
Links- und rechtsseitige Grenzwerte
Uneigentliche Grenzwerte
Die Folgenstetigkeit
Stetigkeits- und Unstetigkeitsbeweise
Übungen
4. Komplexe Zahlen
Motivation
Die Gaußsche Zahlenebene
Die geometrische Deutung der komplexen Multiplikation
Die imaginäre Einheit
Realteil, Imaginärteil, Betrag und Konjugation
Übungen
5. Der Fundamentalsatz der Algebra
Komplexe Polynome
Formulierungen des Fundamentalsatzes
Komplexe Quadratwurzeln
Die komplexen Einheitswurzeln
Das regelmäßige Fünfeck
Ein anschaulicher Beweis des Fundamentalsatzes, I
Ein anschaulicher Beweis des Fundamentalsatzes, II
Komplexe Wurzelfunktionen
Übungen
6. Die komplexe Exponentialfunktion
Übertragung analytischer Begriffe ins Komplexe
Die Exponentialfunktion im Komplexen
Kreisaufwicklung und Eulersche Formel
Anwendungen der Eulerschen Formel
Bilder der komplexen Exponentialfunktion
Übungen
4. Abschnitt Ebene und Raum
1. Reelle Vektoren
Reelle Vektoren
Die Vektoraddition
Die Skalarmultiplikation
Der Satz des Pythagoras und die Euklidische Norm
Das Euklidische Skalarprodukt
Übungen
2. Die Euklidische Ebene
Die Winkelformel für das Euklidische Skalarprodukt
Determinanten
Linearkombinationen und Koordinatenvektoren
Lineare Gleichungssysteme
Die Struktur der Lösungsmenge
Algebraische Kurven ersten und zweiten Grades
Übungen
3. (2 × 2)-Matrizen
Matrizen und ihre Einträge
Addition und Skalierung von Matrizen
Das Matrix-Vektor-Produkt
Die Matrizenmultiplikation
Matrizen als lineare Abbildungen
Allgemeine Abbildungseigenschaften von Matrizen
Übungen
4. Invertierung und Orthogonalität
Das Inverse einer Matrix
Orthogonale Matrizen
Matrizen und Ellipsen, I
Übungen
5. Eigenwerte und Spektralsatz
Eigenwerte und Eigenvektoren
Der Spektralsatz
Diagonalisierung symmetrischer Matrizen
Matrizen und Ellipsen, II
Die Singulärwertzerlegung
Übungen
6. Der Euklidische Raum
Grundlegendes
Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum
Lineare Unabhängigkeit
Die Orthogonaldarstellung einer Ebene
Eigenschaften des Kreuzprodukts
Determinanten
Linearkombinationen und Koordinatenvektoren
Lineare Gleichungssysteme
Übungen
7. (3 × 3)-Matrizen
Grundlegendes
Matrizen als lineare Abbildungen
Invertierbarkeit
Der Invertierungsalgorithmus
Die Elementarmatrizen
Eigenwerte und Eigenvektoren
Übungen
5. Abschnitt Mehrdimensionale Analysis
1. Kurven
Vektoren als Funktionswerte
Parametrisierte Kurven
Tangentialvektoren
Die Länge einer Kurve
Übungen
2. Partielle Ableitungen
Mehrdimensionale Definitionsbereiche
Richtungsableitung und partielle Differenzierbarkeit
Gradienten
Anwendungen des Gradienten
Allgemeine mehrdimensionale Funktionen
Vektorfelder und Differentialoperatoren
Übungen
3. Mehrdimensionale Integration
Mehrdimensionale Integrale
Das Cavalierische Prinzip
Integration in Polarkoordinaten
Inhalte von Rotationsflächen
Übungen
Anhänge
1. Kompetenzorientierte Aufgaben
Grundwissen Definitionen und Sätze
Kalkül
Anschauliche mathematische Sprache
Formale mathematische Sprache
Schulwissen vom höheren Standpunkt
2. Notationen
3. Index