Die ganzen Zahlen

Wir betrachten die folgenden Zahlbereiche:

ℕ  =  { 0, 1, 2, 3, … }(natürliche Zahlen)

ℕ*  =  { 1, 2, 3, … }(positive natürliche Zahlen)

ℤ  =  { …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … }(ganze Zahlen)

Diese Zahlstrukturen sind mit den Operationen der Addition und Multiplikation ausgestattet. In den ganzen Zahlen können wir zudem frei subtrahieren. Obwohl wir uns in der Zahlentheorie hauptsächlich für die natürlichen Zahlen interessieren, bevorzugen wir − der freien Subtraktion wegen − die ganzen Zahlen als unser „Grunduniversum“. Wir vereinbaren deswegen:

 Die ganzen Zahlen sind mit einer linearen Ordnung ausgestattet: Für je zwei Zahlen a, b gilt a ≤ b oder b ≤ a. Es gelten die bekannten Regeln, etwa

a ≤ b und b ≤ c  impliziert  a ≤ c,

a ≤ b und b ≤ a  genau dann, wenn  a = b,

a ≤ b  genau dann, wenn  −b ≤ −a.

 In der Zahlentheorie werden zwar auch Eigenschaften von speziellen Darstellungen von Zahlen untersucht − etwa: n ist genau dann durch 3 teilbar, wenn die Quersumme von n in Dezimaldarstellung durch 3 teilbar ist −, im Zentrum steht aber ein darstellungsfreier Blick auf die Zahlen. Hierzu ist eine Zahlengerade nützlich:

Die Dezimalzahlen − oder andere Systeme − fassen wir eher als Namen für die Elemente der Zahlengeraden auf und nicht als die Elemente selbst. Die Elemente, hier visualisiert durch Punkte, müssen wir gar nicht genau definieren, da wir uns letztendlich nur auf arithmetische Eigenschaften stützen. Dies soll nicht heißen, dass eine mengentheoretische oder algebraische Konstruktion der Zahlbereiche uninteressant oder unwichtig wäre; eine solche Konstruktion ist aber für unsere Ziele nicht nötig.

 Eine Zahlengerade aus Punkten eignet sich für viele Visualisierungen von zahlentheoretischen Begriffsbildungen:

 Derartige Überlegungen unterstützen Vorstellungen, die bei der Aneignung der mathematischen Theorie hilfreich sein können: Die ganzen Zahlen, die bei der Division durch eine gegebene Zahl m ≥ 1 den gleichen Rest besitzen, bilden eine gleichmäßige Folge in den ganzen Zahlen, eine beidseitig unendliche arithmetische Progression. Diese Folge entsteht durch eine Verschiebung (Translation) der ganzzahligen Vielfachen von m.

 Neben der Zahlengeraden sind Visualisierungen mit Zählsteinen hilfreich: Wir betrachten dabei eine Zahl n ≥ 1 als zunächst ungeordnete Ansammlung (Aggregat) von n Zählsteinen. Diese Zählsteine können wir geometrisch anordnen. Gelingt zum Beispiel eine Anordnung als Quadrat, so ist n eine Quadratzahl, also eine der Zahlen 1, 4, 9, 16, … Gelingt eine Anordnung als Rechteck, in dem jede Seite mindestens die Länge 2 besitzt, so ist n eine zusammengesetzte Zahl. Gelingt keine derartige Rechtecksanordnung und ist zudem n ≥ 2, so ist n eine Primzahl. Primzahlen sind also Zahlen − aufgefasst als Ansammlungen von Zählsteinen − die sich nur als Linie und nicht als „echtes“ Rechteck anordnen lassen. Dass dabei die 1 nicht als Primzahl gilt, ist eine Konvention, die wir bei der Diskussion der Primfaktorzerlegung begründen werden.