Polyedergraphen und Platonische Körper

 Viele interessante Beispiele für planare Graphen erhalten wir, indem wir konvexe Polyeder betrachten. Dabei heißt eine Teilmenge P des ℝ³ konvex, falls für alle Punkte p und q von P auch die Strecke von p nach q ganz zu P gehört. Anschaulich entspricht dies der Wölbung von P nach außen. Die berühmtesten konvexen Polyeder sind die fünf Platonischen Körper:

 Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder sind aus gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt, der Kubus aus Quadraten und das Dodekaeder aus regelmäßigen Fünfecken. Wir werden später mit Hilfe der Eulerschen Polyederformel zeigen, dass es keine weiteren konvexen aus regelmäßigen Polygonen eines bestimmten Typs zusammengesetzte Polyeder gibt.

 Jedes Polyeder lässt sich als Graph auffassen, indem wir seine Ecken und Kanten als graphentheoretische Ecken und Kanten interpretieren. Ist ein Polyeder konvex, so ist der dadurch entstehende Graph planar. Eine planare Darstellung ergibt sich durch eine Projektion auf die Ebene. Anschaulich erhalten wir eine solche Darstellung, indem wir die Oberfläche des Polyeders betrachten, eine Fläche entfernen und das so geöffnete Polyeder von innen heraus aufbiegen und auf die Ebene flachdrücken. Die entfernte Fläche entspricht in dieser Weise der unendlichen Außenfläche des entstehenden planaren Graphen. Diese Fläche eingerechnet stimmt der planare Graph nicht nur in der Zahl der Ecken und Kanten, sondern auch in der Zahl der Flächen mit dem Polyeder überein.

 Die folgenden Diagramme zeigen planare Darstellungen für die Platonischen Körper. Der Leser möge die gezeigten Graphen im Geiste zu den Platonischen Körpern umformen und umgekehrt. Werden die sechs Flächen des Kubus wie bei einem Würfel markiert, so entspricht die äußere unendliche Fläche des Kubusgraphen der 6, wenn die innere Fläche der 1 entspricht.

 Der Tetraedergraph ist isomorph zum K₄. Die Gradfolgen der Platonischen Körper sind konstant gleich 3, 4 oder 5.

Netze

 Ganz andere Graphen erhalten wir, wenn wir die Platonischen Körper oder andere Polyeder entlang ihrer Kanten geeignet aufschneiden und zu einem zusammenhängenden Gebilde der Ebene aufklappen. Die entstehenden Graphen − sog. Netze − stimmen mit den Polyedern nicht mehr in der Anzahl der Ecken und Kanten überein, da die Schnitte Ecken und Kanten vervielfachen. Sie sind damit keine graphentheoretischen Darstellungen der Polyeder. Aber sie unterstützen die räumliche Vorstellung und eignen sich zum Basteln der Körper.