Prismen und Archimedische Körper
Wir haben mit Hilfe der Eulerschen Polyederformel bewiesen, dass es nur fünf regelmäßige konvexe Polyeder gibt. Lassen wir zu, dass ein Polyeder mit regelmäßigen Polygonen unterschiedlicher Eckenzahl aufgebaut wird, so erhalten wir zahlreiche weitere Polyeder. Wir halten aber an der Forderung fest, dass die Ecken eines Polyeders im folgenden Sinne gleich aussehen: Für je zwei Ecken a und b des Körpers ist es möglich, das Polyeder durch Drehung und Spiegelung so in sich selbst überzuführen, dass dadurch die Ecke b auf die Ecke a abgebildet wird. Unter dieser Symmetrieforderung gibt es neben den fünf Platonischen Körpern genau noch
(a) | die regelmäßigen Prismen und Antiprismen (je unendlich viele), |
(b) | die Archimedischen Körper (genau 13). |
Regelmäßige Prismen bestehen aus zwei regelmäßigen Polygonen beliebiger Eckenzahl und quadratischen Seitenflächen. Bei den regelmäßigen Antiprismen sind die beiden Polygone so versetzt, dass sich regelmäßige Dreiecke als Seitenflächen ergeben.
Drei Prismen mit regelmäßigen Drei-, Fünf- und Siebenecken als Grundflächen, sowie drei Antiprimen mit regelmäßigen Vier-, Sechs- und Achtecken als Grundflächen
Das Prisma mit einem Quadrat als Grundfläche fällt mit dem Kubus zusammen, das Antiprisma mit einem Dreieck als Grundfläche mit dem Oktaeder.
Die zugehörigen planaren Graphen und Netze sehen so aus:
Graphen und -Netze für obige Prismen und Antiprismen
Die restlichen Polyeder, die unseren Symmetrieforderungen entsprechen, sind die 13 Archimedischen Körper. Der bekannteste Archimedische Körper ist sicherlich der Fußball (ein Ikosaederstumpf).
Die folgenden Abbildungen zeigen die Archimedischen Körper in einer intransparenten und einer transparenten Darstellung sowie zugehörige planare Graphen und Netze.
Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über die Namen und die Bauart der Archimedischen Körper. Die Reihenfolge entspricht den obigen Abbildungen. Bei den Flächen schreiben wir die Eckenzahl der Polygone in den Index. So ist zum Beispiel ein Tetraederstumpf aus vier Dreiecken und vier Sechsecken zusammengesetzt, sodass sich 8 = 43 + 46 Flächen ergeben.
Körper | Ecken | Kanten | Flächen |
Tetraederstumpf | 12 | 18 | 8 = 43 + 46 |
Kuboktaeder | 12 | 24 | 14 = 83 + 64 |
Hexaederstumpf | 24 | 36 | 14 = 83 + 68 |
Oktaederstumpf | 24 | 36 | 14 = 64 + 86 |
Kleines Rhombenkuboktaeder | 24 | 48 | 26 = 83 + 184 |
Großes Rhombenkuboktaeder, Kuboktaederstumpf | 48 | 72 | 26 = 124 + 86 + 68 |
Abgeschrägtes Hexaeder | 24 | 60 | 38 = 323 + 64 |
Ikosidodekaeder | 30 | 60 | 32 = 203 + 125 |
Dodekaederstumpf | 60 | 90 | 32 = 203 + 1210 |
Ikosaederstumpf, Fußball | 60 | 90 | 32 = 125 + 206 |
Kleines Rhombenikosidodekaeder | 60 | 120 | 62 = 203 + 304 + 125 |
Großes Rhombenikosidodekaeder, Ikosidodekaederstumpf | 120 | 180 | 62 = 304 + 206 + 1210 |
Abgeschrägtes Dodekaeder | 60 | 150 | 92 = 803 + 125 |
Bemerkenswert ist schließlich das Pseudo-Rhombenkuboktaeder, das durch Drehung einer Kuppel des Rhombenkuboktaeders entsteht. Alle Ecken sind gleich in dem Sinne, dass stets drei Vierecke auf ein Dreieck treffen. Aber dennoch ist die Symmetrieeigenschaft, je zwei Ecken isometrisch ineinander überführen zu können, verletzt. Manche Quadrate liegen auf einer Folge von acht Quadraten, andere nicht. Es existiert ein ausgezeichneter „Äquator“.
Das Pseudo-Rhombenkuboktaeder mit planaren Graph und Netz