2. Mengen

Georg Cantor, der Begründer der modernen Mengenlehre, hat den Mengenbegriff so beschrieben:

„Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von M genannt werden) zu einem Ganzen.“

(Cantor, 1895)

 Ist m ein Element der Menge M, so schreiben wir

m  ∈  M,(Elementbeziehung, Epsilon-Relation)

gelesen: m Element M, m Epsilon M. Wir sagen auch, dass m in M als Element enthalten ist oder dass die Menge M das Element m besitzt.

 Die Elementbeziehung wird in der mengentheoretisch begründeten Mathematik nicht definiert, sondern axiomatisch beschrieben. Cantors Beschreibung dient der Unterstützung der Anschauung, eine formale Definition kann sie nicht sein.

 Zwei wesentliche Punkte sind:

(1)

In einer Menge kommt es nicht auf die Reihenfolge der Elemente an. Kein Element ist vor einem anderen durch ein „vorher“ oder „früher“ ausgezeichnet.

(2)

In einer Menge wird nicht gezählt, wie oft ein Element vorkommt. Ein Element kommt vor oder nicht.

Zusammenfassungen, bei denen es auf die Reihenfolge ankommt, sind in der Mathematik natürlich bedeutsam, lassen sich aber mit Hilfe des Mengenbegriffs erklären (Paare, Tripel, Tupel, Folgen, Ordnungen). Gleiches gilt für Zusammenfassungen mit Wiederholungen (Multimengen).

 Die Punkte (1) und (2) lassen sich axiomatisch wie folgt fassen:

Extensionalitätsprinzip

Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente besitzen.

 Anders formuliert:

Eine Menge ist durch ihre Elemente vollständig bestimmt.

 Mengen werden oft mit großen Buchstaben notiert, ihre Elemente mit kleinen. Prinzipiell können aber beliebige Zeichen verwendet werden und kleine Buchstaben sehr große Mengen bezeichnen. Dies ist alleine schon deswegen nötig, weil die Element von Mengen wieder Mengen sein können (und deren Elemente wieder Mengen usw.). Ist jedes Element einer Menge wieder eine Menge, so nennt man die Menge auch ein Mengensystem. In der axiomatischen Mengenlehre ist jedes Objekt eine Menge, sodass es zwischen „Menge“ und „Mengensystem“ keinen Unterschied gibt.