4. Funktionen
Funktionen ordnen einem Element a einer bestimmten Menge A ein Element b einer anderen Menge B in eindeutiger Weise zu. Mengentheoretisch können wir diese Anschauung mit Hilfe von Relationen definieren:
Definition (Funktion)
Eine Menge f heißt eine Funktion oder Abbildung, falls f eine rechtseindeutige Relation ist.
Entscheidend ist also die Eigenschaft
∀a, b, c (a f b ∧ a f c → b = c),
die die Eindeutigkeit der Zuordnung sicherstellt. Wir vereinbaren:
Notation | Definition | Bezeichnung | Lesart |
f : A → B | f ist Funktion mit dom(f) = A, rng(f) ⊆ B | von … nach Notation | f ist Funktion von A nach B (oder in den Wertevorrat B) |
Graph(f) | f | Graph | Graph von f |
f (a) = b | (a, b) ∈ f | Notation für Funktionswerte | f von a ist gleich b, b ist der Wert von f an der Stelle a |
dom(f), Def (f) | { a | ∃b f (a) = b } | Domain, Definitionsbereich | Domain, Definitionsbereich von f |
rng(f) | { b | ∃a f (a) = b } | Range, Wertebereich | Range, Wertebereich von f |
Wir folgen dem Vorgehen der Logik und Mengenlehre, eine Funktion mit ihrem Graphen zu identifizieren. Alternativ wird eine Funktion f : A → B auch oft als Tripel (Graph(f), A, B) oder Paar (Graph(f), B) definiert. Hier gehört ein Wertevorrat B fest zu einer Funktion mit dazu. In unserer Definition ist ein Wertevorrat nicht eindeutig, aber in der üblichen Notation f : A → B spezifiziert.
Die leere Menge ist eine Funktion der Form ∅ : ∅ → ∅. Diese auf den ersten Blick vielleicht etwas skurrile Eigenschaft ist zum Beispiel in der Kombinatorik nützlich. Sind A und B Mengen mit genau n bzw. genau m Elementen, so gibt es genau mn viele Funktionen f : A → B. Diese Formel ist auch für die Spezialfälle A = ∅ oder B = ∅ gültig.