Umkehrfunktion, Verknüpfung, Einschränkung

Objekt

Definition

Bezeichnung

Lesart

f −1

{ (b, a) | (a, b)  ∈  f }

Umkehrfunktion

f hoch minus 1

g ∘ f

{ (a, c) | g(f (a)) = c }

(funktionale) Verknüpfung, Komposition

g nach f, g Kringel f

f|C

{ (a, b)  ∈  f | a  ∈  C }

Einschränkung

f eingeschränkt auf C

 Da jede Funktion eine Relation ist, ist f −1 als Umkehrrelation von f immer definiert. Diese Relation ist genau dann wieder eine Funktion, wenn f injektiv ist:

Die Bildung der Umkehrfunktion setzt die Injektivität von f voraus.

 Die Verknüpfung für Funktionen unterscheidet sich von der Verknüpfung für Relationen durch die umgekehrte Reihenfolge. Zuerst wird die Funktion f angewendet, dann die Funktion g:

Ist f : A → B und g : B → C, so ist g ∘ f : A → C.

Dies motiviert auch die Lesart „g nach f“. Es ist üblich, die Verknüpfung nur dann zu betrachten, wenn der Wertebereich von f eine Teilmenge des Definitionsbereichs von g ist. Allgemein kann aber

g ∘ f  =  { (a, c) | g(f (a)) = c }  =  { (a, c) | a  ∈  A, f (a)  ∈  dom(g), c = g(f (a)) }

immer gebildet werden.

 Die Einschränkung ist eine hinsichtlich des Definitionsbereichs zurechtgestutzte Funktion. Ist f : A → B und C ⊆ A, so gilt f|C : C → B.

Bemerkung zu „g nach f“

Gilt a R b S c für Relationen R und S, so gilt a T c für die relationale Verknüpfung T = R ∘ S. Ist dagegen f (a) = b und g(b) = c, d. h. a f b g c, so gilt c = h(a) für die funktionale Verknüpfung h = g ∘ f. Um eine Übereinstimmung mit der relationalen Verknüpfung zu erreichen, müsste die Komposition für Funktionen als f ∘ g notiert werden, was ja auch der Lesart „g nach f“ viel besser entsprechen würde. Dies wird vermieden, da sonst (f ∘ g)(x) = g(f (x)) und nicht (f ∘ g)(x) = f (g(x)) gelten würde. Kurz: Man nimmt in der Definition von g ∘ f die falsche Reihenfolge in Kauf, weil man die nach rechts notierte Funktionsanwendung bewahren möchte. Eine Lösung wäre, die Funktionsanwendung in der Form (x)f („Wert von x unter der Funktion f“) statt f (x) („f angewendet auf x“) zu schreiben, was der seit Euler üblichen Notation zuwiderläuft. Dann wäre (x)(f ∘ g) = ((x)f)g.