Die Folgennotation einer Funktion

Vielfach nützlich ist eine zweite Art, Funktionen zu notieren. Anstelle von f (i) wird der Funktionswert in der Form a_i angegeben.

Notation	Definition	Bezeichnung	Lesart
(a_i)_{i  ∈  I}	{ (i, a_i) \| i  ∈  I } ist eine Funktion	I-Folge, Familie mit Indexmenge I	Folge aller a_i mit i  ∈  I

Die Funktion f = (a_i)_{i  ∈  I} ist die eindeutige Funktion mit Definitionsbereich I und f (i) = a_i für alle i  ∈  I. In der Folgennotation wird der Funktion als Ganzes kein Name wie f, g, h, … gegeben, dafür werden im Unterschied zur anderen Notation alle Funktionswerte in der Indexform a_i notiert. Man nennt den Wert a_i auch das Glied oder Element der Folge mit dem Index i.

Gilt a_i  ∈  A für alle i  ∈  I, so heißt die Folge (a_i)_{i  ∈  I} eine Folge in A. Speziell in der Analysis werden Folgen der Form (x_n)_{n  ∈  ℕ} in ℝ verwendet. Sie sind Funktionen der Form f : ℕ → ℝ. Eine Folge (a_n)_{n  ∈  ℕ} mit der Indexmenge ℕ können wir auch in der Aufzählungsform a₀, a₁, …, a_n, … angeben.

Unsere Mengenoperationen können wir auf Folgen erweitern:

Objekt	Definition	Bezeichnung	Lesart
⋂_{i  ∈  I} A_i	{ a \| ∀i  ∈  I a  ∈  A_i }	Durchschnitt	Durchschnitt von (A_i)_{i  ∈  I}
⋃_{i  ∈  I} A_i	{ a \| ∃i  ∈  I a  ∈  A_i }	Vereinigung	Vereinigung von (A_i)_{i  ∈  I}
⨉_{i  ∈  I} A_i	{ f \| dom(f) = I, f (i)  ∈  A_i für alle i }	allgemeines Kreuzprodukt	Kreuzprodukt von (A_i)_{i  ∈  I}

Ist K eine Menge, (I_k)_{k  ∈  K} eine K-Folge und (A_i)_{i  ∈  I_k} eine I_k-Folge von Mengen für alle k  ∈  K, so gelten:

Allgemeine Distributivgesetze
⋂_{k  ∈  K} ⋃_{i  ∈  I_k} A_{k, i} = ⋃_{f  ∈  ⨉_{k  ∈  K} I_k} ⋂_{k  ∈  K} A_{k, f (k)}
⋃_{k  ∈  K} ⋂_{i  ∈  I_k} A_{k, i} = ⋂_{f  ∈  ⨉_{k  ∈  K} I_k} ⋃_{k  ∈  K} A_k,f (k)
⨉_{k  ∈  K} ⋃_{i  ∈  I_k} A_{k, i} = ⋃_{f  ∈  ⨉_{k  ∈  K} I_k} ⨉_{k  ∈  K} A_{k, f (k)}
⨉_{k  ∈  K} ⋂_{i  ∈  I_k} A_{k, i} = ⋂_{f  ∈  ⨉_{k  ∈  K} I_k} ⨉_{k  ∈  K} A_{k, f (k)}