Im diesem Teilband stehen Grundlagen der Algebra und Mengenlehre im Zentrum. Das Motiv des Abschnitts über mathematische Strukturen lässt sich so beschreiben: Es gibt Kombinationen von Eigenschaften, die in vielen Situationen in der Mathematik immer wieder auftauchen und daher eine eigenständige abstrakte Untersuchung verdienen. Wir lernen dadurch, bei aller Individualität der mathematischen Objekte, Gemeinsamkeiten zu sehen und zu benennen. Das mathematische Gesamtgebäude wird einfacher, übersichtlicher und reicher an Querverbindungen. Beispiele für derartige immer wiederkehrende Strukturen sind Äquivalenzrelationen, Ordnungen, Monoide, Gruppen, Ringe und Körper. Durch unsere Untersuchungen der natürlichen Zahlen und Graphen stehen uns zahlreiche wichtige Beispiele für diese Strukturen zur Verfügung, sodass der Abstraktionsschritt natürlicher erscheint und leichter vollzogen werden kann. Kongruenzen in den ganzen Zahlen weisen beispielsweise ähnliche Eigenschaften auf wie die Erreichbarkeit in Graphen − beides sind Äquivalenzrelationen. Nachdem der Strukturbegriff eingeführt ist, betrachten wir am Paradebeispiel der Gruppen die Konzepte einer Unterstruktur und einer strukturerhaltenden Abbildung (Homomorphismus). Mit den angeordneten Körpern ergibt sich schließlich eine Verbindung zur Analysis: Die reellen Zahlen lassen sich axiomatisch bis auf Isomorphie (strukturelle Übereinstimmung) als vollständig angeordneter Körper charakterisieren. Der Band endet mit einem Abschnitt über Mengenlehre, der ausgehend von kombinatorischen Überlegungen zu endlichen Mengen die grundlegenden Phänomene der unendlichen Mengen diskutiert. Die Untersuchung unendlicher Mengen bringt die Paradoxien der naiven Mengenlehre ans Licht und führt zur Formulierung einer mengentheoretischen Axiomatik. Wir stellen die Axiomatik von Zermelo-Fraenkel vor, die nach heutigem Wissen frei von Paradoxien ist und als Fundament für die gesamte Mathematik dienen kann. Eine besondere Stellung kommt dem Auswahlaxiom zu, das wir in verschiedenen Varianten besprechen, einschließlich der des vielverwendeten sogenannten Zorschnen Lemmas.