Übungen

Übung 1

Geben Sie Beispiele für Äquivalenzrelationen in der Geometrie.

Übung 2

Sei A eine beliebige Menge. Für alle a, b  ∈  A setzen wir a ∼ b, falls a = b. Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf A ist, bestimmen Sie die Äquivalenzklassen und geben Sie ein Repräsentantensystem an.

Übung 3

Sei A eine beliebige Menge. Für alle a, b  ∈  A setzen wir a ∼ b, falls a = a. Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf A ist, bestimmen Sie die Äquivalenzklassen und geben Sie ein Repräsentantensystem an.

Übung 4

Sei A eine Menge. Zeigen Sie:

(1)

Ist ≡  eine Äquivalenz auf A, so ist A/≡  eine Zerlegung von A.

(2)

Ist Z eine Zerlegung von A, so definiert

a ≡  b  falls  es gibt ein B  ∈  Z mit a, b  ∈  B

eine Äquivalenz auf A mit A/≡  = Z.

Übung 5

Sei f : A → B eine Funktion. Wir definieren eine Relation ≡  auf A, indem wir für alle a, b  ∈  A setzen:

a ≡  b  falls  f (a) = f (b).

Zeigen Sie, dass ≡  eine Äquivalenz auf A ist, und bestimmen Sie die Äquivalenzklassen.

Übung 6

Sei A eine Menge. Für Relationen R und S auf A definieren wir

R ∘ S  =  { (a, c) | es gibt ein b  ∈  A mit a R b und b S c }.

Weiter seien

R0  =  IdA  =  { (a, a) | a  ∈  A },  Rn + 1  =  Rn ∘ R  für alle n,  R*  =  ⋃n  ∈  ℕ Rn.

(a)

Sei R eine symmetrische Relation auf A. Zeigen Sie, dass R* die kleinste Äquivalenz auf A ist, die R als Teilmenge enthält.

(b)

Welche Bedeutung hat die Relation ⋃n ≥ 1 Rn für eine beliebige Relation R auf A?

Übung 7

Sei G = (E, K) ein Graph. Für alle a, b  ∈  E setzen wir a ∼ b, falls a und b auf einem gemeinsamen Kreis in G liegen. Definiert dies eine Äquivalenz auf der Menge E? Welche Eigenschaften sind erfüllt und welche gelten im Allgemeinen nicht? Begründen Sie Ihre Antworten.

Übung 8

Geben Sie instruktive Beispiele für Relationen an, die zwei der Eigenschaften „reflexiv, symmetrisch, transitiv“ besitzen, aber eine verletzen.

Übung 9

Sei ≡  eine Äquivalenz auf A und sei f : A → A die Identität auf A, d. h. es gilt f (a) ≡  a für alle a  ∈  A. Zeigen Sie, dass ≡  eine Kongruenzrelation für f ist und bestimmen Sie die durch f induzierte Operation auf A/≡ .