Operationstafeln und Translationen
Eine Operation ∘ auf A können wir durch eine Verknüpfungs- oder Operationstafel (auch Cayley-Tafel genannt) veranschaulichen: Wir tragen die Elemente von A in die erste Spalte und erste Zeile einer Tabelle ein und füllen den Hauptteil der Tabelle mit allen Werten a ∘ b. Viele Eigenschaften der Operation werden dadurch greifbarer, da sie anschaulichen Eigenschaften der Tafel entsprechen. Natürlich lassen sich konkrete Tafeln nur für Strukturen mit einem kleinen endlichen Träger erstellen, aber auch in einer idealisierten Form ist eine Verknüpfungstafel oft hilfreich.
∘ | a | b | c | … |
a | a ∘ a | a ∘ b | a ∘ c | … |
b | b ∘ a | b ∘ b | b ∘ c | … |
c | c ∘ a | c ∘ b | c ∘ c | … |
… | … | … | … | … |
Verknüpfungstafel einer Operation
Hier und im Folgenden übernehmen wir die von Matrizen bekannte Konvention, dass bei einem Eintrag a ∘ b das erste Element a einer Zeile und das zweite Element b einer Spalte entspricht. Dadurch wird a ∘ b von b ∘ a unterscheidbar. Den Wert a ∘ b nennen wir auch den Eintrag der Zelle Za, b der Tafel.
Jede Zeile und jede Spalte der Tafel können wir als eine Transformation auf der Menge A lesen. Diese Sicht motiviert folgende Definition:
Definition (Translationen)
Sei (A, ∘) eine operationale Struktur, und sei a ∈ A. Dann sind die Linkstranslation ℓa : A → A und die Rechtstranslation ra : A → A definiert durch
ℓa(b) = a ∘ b, ra(b) = b ∘ a für alle b ∈ A.
Die Linkstranslation ℓa entspricht der durch a definierten Zeile der Operationstafel, die Rechtstranslation ra der durch a definierten Spalte. Beide Translationen sind Transformationen auf A, sodass
{ ℓa | a ∈ A } ∪ { ra | a ∈ A } ⊆ AA.
Gilt a ∘ b = b ∘ a für alle a, b ∈ A, so ist ℓa = ra, d. h. Links- und Rechtstranslationen fallen zusammen. Dieses Kommutativgesetz werden wir später genauer betrachten. Wir setzen es wie oben diskutiert keineswegs für die Operation ∘ voraus. Es kann gelten oder auch nicht.
Translationen können wir auch für Mengen betrachten:
Definition (Translationen einer Menge)
Sei (A, ∘) eine operationale Struktur, und seien a ∈ A und B ⊆ A. Dann setzen wir
aB = ℓa[ B ] = { a ∘ b | b ∈ B }(Linkstranslation von B)
Ba = ra[ B ] = { b ∘ a | b ∈ B }(Rechtstranslation von B)
Schließlich führen wir auch noch ein Produkt von Mengen ein:
Definition (operationales Produkt zweier Mengen)
Sei (A, ∘) eine operationale Struktur, und seien B, C ⊆ A. Dann setzen wir
BC = { b ∘ c | b ∈ B, c ∈ C }(operationales Produkt von B und C)
Es gilt { b }C = bC, B{ c } = Bc, BC = ⋃b ∈ B bC = ⋃c ∈ C Bc.
Beispiel
Für die Multiplikation · auf ℤ gilt:
ℓ2(b) = 2b = b2 = r2(b) für alle b ∈ ℤ,
3 { 2a | a ∈ ℤ } = { 6a | a ∈ ℤ },
G U = U G = G, U U = U, G G ⊂ G mit G = { 2a | a ∈ ℤ }, U = ℤ − G.