Produktstrukturen

Viele weitere Beispiele für Halbgruppen und Monoide erhalten wir durch folgende sehr allgemeine Konstruktion:

Definition (Produktstruktur)

Seien (H₁, ∘₁) und (H₂, ∘₂) operationale Strukturen, und sei H = H₁ × H₂. Wir definieren eine Operation ∘ auf H durch

(a, b) ∘ (c, d) = (a ∘₁ c, b ∘₂ d) für alle (a, b), (c, d)  ∈  H.

Dann heißt (H, ∘) das Produkt der Strukturen, in Zeichen

(H, ∘) = (H₁, ∘₁) × (H₂, ∘₂).

Analog ist das Produkt von Strukturen (H₁, ∘₁, e), (H₂, ∘₂, d) mit Konstanten definiert als die Struktur (H, ∘, (e, d)).

Sind die Faktoren Halbgruppen, so ist auch das Produkt eine Halbgruppe. Ebenso ist das Produkt ein Monoid, wenn die Faktoren dies sind (Übung). Im Sinne der Verwechslung einer Struktur mit ihrem Träger nennen wir auch kurz die Menge H = H₁ × H₂ ein Produkt von Halbgruppen bzw. Monoiden.

Beispiele

(1)	Eine Paradeanwendung ist die wiederholte Produktbildung des Monoids (ℝ, +, 0) mit sich selbst. Sie liefert für alle n ≥ 2 die Monoide (ℝⁿ, +, 0) mit der Vektoraddition und Nullvektor 0 = (0, …, 0): (ℝⁿ, +, 0) = (ℝ, +, 0) × … × (ℝ, +, 0) (mit n Faktoren). Analoges gilt für (ℂ, +, 0).

(2)

Für (ℝ, ·, 1) erhalten wir das Produkt

(ℝ², ·, (1, 1)) = (ℝ, ·, 1) × (ℝ, ·, 1)

mit der komponentenweisen Multiplikation

(x₁, y₁) · (x₂, y₂) = (x₁ x₂, y₁ y₂) für alle (x₁, y₁), (x₂, y₂)  ∈  ℝ².

Während also (ℝ, +, 0) × (ℝ, +, 0) die Addition auf den komplexen Zahlen ℂ = ℝ² erzeugt, liefert die Produktbildung mit der Multiplikation auf ℝ nicht die komplexe Multiplikation. Zudem ist im Produkt nicht 1 = (1, 0) wie in ℂ, sondern (1, 1) neutral.

(3)	Das Produktmonoid (ℤ₂, +, [ 0 ]) × (ℤ₂, +, [ 0 ]) hat die vier Elemente ([ 0 ], [ 0 ]), ([ 0 ], [ 1 ]), ([ 1 ], [ 0 ]), ([ 1 ], [ 1 ]). Neutral ist ([ 0 ], [ 0 ]). Es gilt ([ 1 ], [ 1 ]) + ([ 1 ], [ 1 ]) = ([ 0 ], [ 0 ]).