Notationen
Wir diskutieren nun noch einige von der Wahl des Operationszeichens abhängige Notationen. Sie greifen lange mathematische Traditionen auf und sind im mathematischen Alltag von großer Bedeutung. Für kommutative Strukturen verwenden wir oft, aber nicht immer das Zeichen +. Wir vereinbaren:
Konvention: Additiv notierte Strukturen sind kommutativ
Eine Struktur mit + als Operationszeichen ist immer kommutativ.
Für additiv notierte Strukturen vereinbaren wir zudem Notationen, wie wir sie von der Addition von Zahlen gewohnt sind:
Notationen für additiv notierte Strukturen
(1) | Das neutrale Element eines additiv notierten Monoids ist 0. |
(2) | Statt a− 1 schreiben wir stets −a.(additive Inverse) |
(3) | Statt a + (−b) schreiben wir auch a − b.(Subtraktionsnotation) |
(4) | Statt an schreiben wir stets na.(Vervielfachungsnotation) |
(5) | Statt aB und AB schreiben wir a + B bzw. A + B.(Translationsnotation) |
Eine Potenz a ∘ a ∘ a = a3 wird in additiver Schreibweise also zu a + a + a = 3a. Aus a0 = e wird speziell 0a = 0, wobei in 0a = 0 die Null auf der linken Seite eine natürliche Zahl ist und die Null auf der rechten Seite das neutrale Element des Monoids. Die Inversenregeln lauten
−(−a) = a, −(a + b) = −b + (−a) = −b − a = −a − b.(additive Inversenregeln)
Ist · das Operationszeichen, so sprechen wir von einer multiplikativ notierten Struktur. Eine solche ist oft, aber nicht immer kommutativ. Wir vereinbaren:
Notationen für multiplikativ notierte Strukturen
(1) | Malpunkte lassen wir oft weg, sodass ab = a · b. |
(2) | Das neutrale Element eines multiplikativ notierten Monoids M wird oft mit 1 bezeichnet. |
(3) | Ist · kommutativ, so schreiben wir auch 1/a statt a−1 und weiter a/b anstelle von ab−1. Mit einem waagrecht geschriebenen Strich gilt also ab = a b− 1.(Bruchnotation) Wir nennen a den Zähler und b den Nenner des Bruchs a/b. Der Bruch a/b ist genau dann definiert, wenn b invertierbar ist. In einer Abelschen Gruppe (G, ·, 1) existiert a/b für alle a, b ∈ G. |
Wir fassen die Notationen noch einmal in einer Tabelle zusammen.
Operation | ∘ | · | · (Abelsch) | + (Abelsch) |
Verknüpfung | a ∘ b | ab | ab | a + b |
neutrales Element | e | e, 1 | 1 | 0 |
inverses Element | a−1 | a−1 | 1/a | −a |
Verknüpfung mit einem Inversen | a ∘ b−1 | ab−1 | a/b | a − b |
Potenz/Vervielfachung | an | an | an | na |
In der ersten Spalte der Tabelle sind Notationen für eine allgemeine Verknüpfung ∘ angegeben. Danach folgen Notationen für eine beliebige bzw. kommutative multiplikative Operation. Den Abschluss bilden die speziellen Notationen für eine (stets kommutative) additive Operation. Für neutrale Elemente werden zudem kontextabhängige spezielle Notationen verwendet, etwa En für die Matrizenmultiplikation oder idA für Transformationen.