Gruppen

 Nach unseren Untersuchungen über invertierbare Elemente in Monoiden sind wir bestens gerüstet, um zu definieren:

 Da in einer Gruppe alle Elemente invertierbar sind, gelten unsere Ergebnisse über invertierbare Elemente in Monoiden universell in Gruppen:

 In einer Gruppe G können wir sehr frei rechnen. So gilt zum Beispiel

a ∘ b ∘ c ∘ c⁻¹ ∘ b⁻¹ ∘ a⁻¹  =  e  für alle a, b, c  ∈  G.

Der einzige Fehler, denn man machen kann, ist, unbegründet a ∘ b durch b ∘ a zu ersetzen. Wir diskutieren diese Vertauschbarkeit (die manchmal, aber eben nicht immer gilt) gleich noch genauer, halten aber fest, dass es keine allgemeine Gruppenregel gibt, die uns diesen Austausch erlauben würde. Insbesondere ist das Inverse von a ∘ b also nach wie vor b⁻¹ ∘ a⁻¹.

 Wir betrachten nun einige Beispiele für Gruppen.

1. Triviale Gruppen

 Jede Einermenge G = { a } mit a ∘ a = a ist eine Gruppe mit a = a^{− 1} = e.

2. Zahlen

 Die Zahlstrukturen

(ℤ, +, 0),  (ℚ, +, 0),  (ℝ, +, 0),  (ℂ, +, 0),  (ℚ*, ·, 1),  (ℝ*, ·, 1),  (ℂ*, ·, 1)

sind Gruppen. Bei den multiplikativen Strukturen müssen wir die Null ausschließen, da sie bzgl. der Multiplikation nicht invertierbar ist.

3. Vektoren

 Für alle n ≥ 1 bildet ℝⁿ mit der Vektoraddition und dem Nullvektor eine Gruppe. Für alle x = (x₁, …, x_n) ist −x = (−x₁, …, −x_n) invers zu x. Das Gleiche gilt für ℂⁿ.

4. Addition von Restklassen

 Sei m ≥ 1. Dann ist ℤ_m mit der Addition von Restklassen eine Gruppe der Ordnung m. Invers zu [ a ] ist [ −a ].

5. Multiplikation von Restklassen

 Sei m ≥ 1. Dann ist ℤ_m mit der Multiplikation von Restklassen nur für m = 1 eine Gruppe (eine triviale Gruppe der Ordnung 1). Sei also m ≥ 2. Dann ist

ℤ_m*  =  ℤ_m − { 0 }  =  ℤ_m − { [ 0 ] }

mit der Multiplikation von Restklassen genau dann eine Gruppe, wenn der Modul m eine Primzahl ist. Denn genau dann hat die Kongruenz

ax ≡  1 (m)

für jedes a  ∈  { 1, …, m − 1 } eine Lösung. Restklassen mit einem Primzahlmodul sind also multiplikative Gruppen, wenn wir die Null entsprechend ihrer Sonderrolle wie bei den Zahlen entfernen. Ist p prim und x die modulo p eindeutige Lösung von ax ≡  1 (p), so ist [ x ] invers zu [ a ] in ℤ_p*. Die Gruppe ℤ_p* hat die Ordnung p − 1.

6. Produktgruppen

 Sind G₁ und G₂ Gruppen, so ist auch das Produkt G = G₁ × G₂ eine Gruppe (Übung). Es gilt

(a, b)⁻¹  =  (a⁻¹, b⁻¹)  für alle (a, b)  ∈  G.

Speziell ist jede Potenz Gⁿ = G × … × G einer Gruppe wieder eine Gruppe.