Kommutative Strukturen
Definition (kommutativ, Abelsch)
Eine Struktur (A, ∘) oder (A, ∘, e) heißt kommutativ oder Abelsch, falls gilt:
∀a, b ∈ A a ∘ b = b ∘ a(Kommutativgesetz)
Die wiederholte Anwendung des Kommutativgesetzes zeigt, dass wir die Elemente in Operationstermen beliebig umordnen dürfen. So gilt zum Beispiel
a ∘ b ∘ c ∘ d = b ∘ a ∘ d ∘ c.
Beispiele
(1) | (ℤ, −) mit der üblichen Subtraktion ist nicht kommutativ. |
(2) | Die additiven und multiplikativen Gruppen auf den Zahlenmengen oder Restklassen sind Abelsch. Ebenso ist ℝn mit der Vektoraddition Abelsch für alle n ≥ 1. |
(3) | Sind zwei Gruppen Abelsch, so ist auch ihr Produkt Abelsch. |
(4) | In der Permutationsgruppe Sℝ seien zum Beispiel f, g ∈ Sℝ mit f (x) = x + 1, g(x) = 2x für alle x ∈ ℝ. Dann ist g ∘ f ≠ f ∘ g, da g(f (0)) = 2 ≠ 1 = f (g(0)). Damit ist die Gruppe Sℝ nicht Abelsch. |
(5) | Bereits die Permutationsgruppe S3 ist nicht Abelsch, denn es gilt zum Beispiel (2, 3, 1) ∘ (1, 3, 2) = (2, 1, 3) ≠ (3, 2, 1) = (1, 3, 2) ∘ (2, 3, 1). Allgemein ist (SA, ∘) genau dann Abelsch, wenn A höchstens zwei Elemente besitzt. |
(6) | Sei G = { A ∈ ℝ2 × 2 | A ist invertierbar } die Gruppe der invertierbaren Elemente des Monoids aller reellen (2 × 2)-Matrizen mit der Matrizenmultiplikation als Operation. Dann ist G nicht Abelsch. Zum Beispiel ist = , = . Allgemeiner bilden die invertierbaren ℝn × n und ℂn × n Matrizen eine nichtkommutative Gruppe für alle n ≥ 2. |
Die Kommutativität können wir genauer für je zwei Elemente betrachten:
Definition (kommutierende Elemente)
Zwei Elemente a, b einer Struktur kommutieren, falls a ∘ b = b ∘ a. Wir sagen dann auch, dass a mit b kommutiert.
Jedes Element kommutiert mit sich selbst. In einem Monoid kommutiert das neutrale Element e mit allen anderen Elementen. Ist a invertierbar, so kommutiert a mit a−1.
Die Kommutativität hat eine sehr anschauliche Bedeutung: Eine Struktur ist genau dann kommutativ, wenn ihre Tafel symmetrisch zur Hauptdiagonalen (von links oben nach rechts unten) ist.
ℤ7* (Abelsch) und S3 (nicht Abelsch). In der S3 kommutieren nichttrivial nur 231 und 312.
Die nichtkommutative Dieder-Gruppe D4 der Ordnung 8 [ gelesen: Di-Eder ]
Die Permutationsgruppe S3 ist in einem gewissen Sinne das kleinste Beispiel für eine nichtkommutative Gruppe. Man kann zeigen, dass jede Gruppe der Ordnung kleiner oder gleich fünf kommutativ ist, und dass jede nichtkommutative Gruppe der Ordnung sechs bis auf die Namen der Elemente die Gruppe S3 ist. Danach folgen zwei nichtkommutative Gruppen der Ordnung 8 (die eine ist obige Dieder-Gruppe D4, die andere werden wir im nächsten Kapitel kennenlernen) und dann weiter nichtkommutative Gruppen der Ordnungen
10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, …
Die genauen Verhältnisse sind kompliziert. Wir werden später zeigen, dass jede endliche Gruppe G mit Primzahlordnung kommutativ ist. Weiter kann man für jede Primzahl p zeigen:
(1) | Jede Gruppe der Ordnung p2 ist kommutativ. |
(2) | Es gibt eine nichtkommutative Gruppe der Ordnung p3. |
Auch in der S4 ist Kommutativität eher selten. Im Diagramm sind diesmal die kommutierenden Paare ausgezeichnet.