Die Charakteristik eines Körpers

Gilt in einem Körper aus rechnerischer Sicht alles, was wir von ℚ, ℝ und ℂ gewohnt sind? Nicht ganz. Eine Besonderheit, die sich vielleicht am Besten anhand der Restklassenkörper beschreiben lässt, müssen wir beachten. Ist p prim, so gilt im Körper ℤ_p:

1 + … + 1 (p-oft) = [ 1 ] + … + [ 1 ] (p-oft) = [ p ] = [ 0 ] = 0.

Das Aufsummieren von Einsen kann also zur Null führen. Unter Verwendung der Vervielfachungsnotation können wir schreiben:

p 1 = p [ 1 ] = [ p ] = 0.

In ℚ, ℝ oder ℂ ist dagegen n1 ≠ 0 für alle n ≥ 1. Diese Überlegung motiviert:

Definition (Charakteristik eines Körpers)

Sei K ein Körper. Gibt es ein n ≥ 1 mit n1 = 0, so setzen wir

char(K) = „das kleinste n ≥ 1 mit n1 = 0“.

Andernfalls setzen wir char(K) = 0. Die natürliche Zahl char(K) ≥ 0 heißt die Charakteristik des Körpers K.

Eine erste Beobachtung ist:

Satz (Charakteristik und Primzahlen)

Sei K ein Körper mit char(K) ≠ 0. Dann ist char(K) eine Primzahl.

Beweis

Sei p = char(K). Zunächst ist p ≥ 2, da 0 ≠ 1. Sei nun p = ab mit a, b ≥ 1. Wir zeigen, dass a = p oder b = p. Hieraus folgt, dass p eine Primzahl ist. Es gilt

(a1)(b1) = (ab) 1 = p 1 = 0.

Aufgrund der Nullteilerfreiheit des Körpers gilt also

(+) a1 = 0 oder b1 = 0.

Im ersten Fall ist a ≠ 1 und damit a = p, da sonst char(K) ≤ a < p. Analog ist im zweiten Fall b = p.

Wir werden später zeigen, dass die Charakteristik eines endlichen Körpers ein Teiler der Ordnung des Körpers ist. Dies folgt aus dem Satz von Lagrange, den wir im Kapitel über Unterstrukturen kennenlernen werden.

Ist p prim, so hat der Restklassenkörper ℤ_p die Charakteristik p. In diesem Fall fällt die Charakteristik mit der Ordnung des Körpers zusammen. Im Allgemeinen ist dies für endliche Körper jedoch nicht gültig. Es gilt der folgende bemerkenswerte Satz von E. H. Moore (1893), den wir hier ohne Beweis angeben:

Satz (Klassifikation endlicher Körper)

(a)	Sei K ein endlicher Körper. Dann gibt es eine Primzahl p und ein n ≥ 1 mit \|K\| = pⁿ.

(b)	Seien p prim und n ≥ 1. Dann gibt es einen (bis auf die Namen der Elemente eindeutig bestimmten) endlichen Körper K mit \|K\| = pⁿ.

Kurz:

Genau die Primzahlpotenzen sind die Ordnungen endlicher Körper.

Ist p eine Primzahl, so haben die Körper der Ordnungen p, p², p³, … allesamt die Charakteristik p (da die Charakteristik die Ordnung teilt).

Der bis auf die Namen seiner Elemente eindeutige Körper der Ordnung pⁿ wird traditionell mit 𝔽_pⁿ bezeichnet. Dabei steht 𝔽 für die englische Bezeichnung „field“ eines Körpers. Speziell ist 𝔽_p der Restklassenkörper modulo p, sodass 𝔽_p = ℤ_p. Die Bestimmung der Tafeln der Körper 𝔽_pⁿ ist für n ≥ 2 eine nichttriviale Aufgabe der Algebra. Wir geben einige Beispiele.

Operationstafeln des Körpers 𝔽₄

Operationstafeln des Körpers 𝔽₈

Operationstafeln des Körpers 𝔽₉

Einbettung der rationalen Zahlen in Körper der Charakteristik Null

Sei nun K ein Körper der Charakteristik Null. Wir zeigen, dass K eine „Kopie“ des Körpers ℚ der rationalen Zahlen enthält. Um die Einsen von ℚ und K zu trennen, schreiben wir 1 für die Eins von ℚ und 1_K für die Eins von K. Zunächst enthält K die Elemente

0, 1_K, 2 1_K = 1_K + 1_K, 3 1_K = 1_K + 1_K + 1_K, …,

Wegen char(K) = 0 sind diese Elemente paarweise verschieden. Wir setzen

n_K = n 1_K für alle n  ∈  ℕ.

Das Körperelement n_K ist die natürliche Zahl n aus der Sicht des Körpers K. Für alle rationalen Zahlen q = ± n/m setzen wir nun (wohldefiniert):

q_K = ± ^n_K_{m_K}.

Dann ist q_K die rationale Zahl q aus der Sicht von K. Es gilt (Übung):

(1)	q_K ≠ r_K für alle q, r  ∈  ℚ mit q ≠ r.

(2)	(q + r)_K = q_K + r_K, (q r)_K = q_K r_K für alle p, q  ∈  ℚ.

Damit ist ℚ_K = { q_K | q  ∈  ℚ } unsere angestrebte „Kopie“ der rationalen Zahlen im Körper K. Identifizieren wir q  ∈  ℚ mit q_K  ∈  K, so können wir ℚ ⊆ K annehmen (der Leser vergleiche zum Beispiel die Identifikation von x  ∈  ℝ mit (x, 0)  ∈  ℝ², die zu ℝ ⊆ ℂ führt). In diesem Sinne ist jeder Körper der Charakteristik Null eine Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen. Anders formuliert: Die rationalen Zahlen sind aus algebraischer Sicht der kleinste Körper der Charakteristik Null.