Übungen

Übung 1

Sei (R, +, ·, 0, 1) ein kommutativer Ring. Zeigen Sie:

^a_b + ^c_d = ^{ad + bc}_bd für alle a, c  ∈  R und b, d  ∈  R^×.

Übung 2

Beweisen Sie den Satz über Rechenregeln in Ringen, II.

Übung 3

Sei (R, +, ·, 0, 1) ein nullteilerfreier Ring, und sei a  ∈  R mit a² = 1. Zeigen Sie, dass a = 1 oder a = −1.

Übung 4

Sei R ein kommutativer Ring. Wir definieren die Teilbarkeit wie in ℤ: Sind a, b  ∈  R, so heißt a ein Teiler von b, in Zeichen a | b, falls ein d  ∈  R existiert mit a d = b. Welche der Teilbarkeitseigenschaften, die wir für die ganzen Zahlen betrachtet haben, sind weiterhin gültig?

Übung 5

Welche Teilbarkeitsbeziehungen gelten in den Restklassenringen ℤ₅ und ℤ₆?

Übung 6

Sei R ein kommutativer Ring. Für a, b  ∈  R setzen wir

a ∼ b, falls a | b und b | a.

Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenz auf R ist.

Übung 7

Sei R ein kommutativer Ring. Weiter seien a eine Einheit in R und b  ∈  R nilpotent, d. h. es gibt ein n  ∈  ℕ mit bⁿ = 0. Zeigen Sie, dass a + b eine Einheit in R ist.

Übung 8

Welche Körperaxiome sind im Produkt ℝ × ℝ des Rings (ℝ, +, ·, 0, 1) mit sich selbst verletzt?

Übung 9

Geben Sie eine Struktur (K, +, ·, 0, 1) an, die kein Körper ist, aber die folgenden Eigenschaften erfüllt:

(i)	(K, +, 0) ist eine Abelsche Gruppe.

(ii)	(K − { 0 }, ·, 1) ist eine Abelsche Gruppe.

(iii)

∀a, b, c  ∈  K a (b + c) = ab + ac.

Welche Aussage lässt sich hinzufügen, damit eine korrekte Körperdefinition entsteht?

Übung 10

Sei R ein Ring. Bildet die Menge R^× ∪ { 0 } der um die 0 ergänzten Einheiten des Rings mit der Addition und Multiplikation des Rings stets einen Körper? Illustrieren Sie Ihre Argumentation durch Beispiele.

Übung 11

Zeigen Sie, dass ℚ[  $\sqrt{2}$  ] = { a + b $\sqrt{2}$ | a, b  ∈  ℚ } mit der reellen Addition und Multiplikation einen Körper bildet.

Übung 12

Sei K ein Körper, und seien b, c  ∈  K. Weiter seien x₁, x₂  ∈  K zwei verschiedene Lösungen der Gleichung

(+) x² + bx + c = 0.

Zeigen Sie:

(a)	−b = x₁ + x₂, c = x₁ x₂.

(b)	Ist x eine Lösung von (+), so gilt x = x₁ oder x = x₂.

Übung 13

Sei K ein Körper der Charakteristik 0, und sei n_K = n · 1_K für alle n  ∈  ℕ. Für alle rationalen Zahlen q = ± n/m setzen wir

q_K = ± ^n_K_{m_K}.

Zeigen Sie, dass q_K wohldefiniert ist (d. h. unabhängig von der Darstellung von q) und dass gilt:

(1)	q_K ≠ r_K für alle q, r  ∈  ℚ mit q ≠ r.

(2)	(q + r)_K = q_K + r_K, (q r)_K = q_K r_K für alle p, q  ∈  ℚ.

Übung 14

Zeigen Sie, dass die Hamiltonschen Quaternionen einen Schiefkörper bilden. Versuchen Sie dabei so viele Axiome wie möglich eigenständig zu beweisen und recherchieren Sie gegebenenfalls nach Hilfestellungen.

Übung 15

Sei R ein kommutativer Ring. Zeigen Sie, dass R[ X ] ein kommutativer Ring ist. Zeigen Sie weiter, dass sich die Nullteilerfreiheit von R auf R[ X ] überträgt.

Übung 16

Sei R[ X ] der Polynomring über einem Ring R, und sei p  ∈  R[ X ]. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(1)	p ist eine Einheit in R[ X ].

(2)	p₀ ist eine Einheit in R und für alle n ≥ 1 gibt es ein k mit p_n^k = 0.

Folgern Sie: Ist R nullteilerfrei, so sind genau die Polynome p in R[ X ] invertierbar, die einen invertierbaren konstanten Term p₀ besitzen.

Übung 17

Sei R[ X ] der Polynomring über einem Ring R, und sei p  ∈  R[ X ] eine Einheit. Wir definieren eine Folge q = (q_n)_n ∈ ℕ rekursiv durch

q₀ = p₀⁻¹, q_n + 1 = − p₀ ∑_{1 ≤ k ≤ n} p_k q_n − k.

Zeigen Sie, dass q  ∈  R[ X ] und q = p⁻¹.

Übung 18

Übertragen Sie die Ergebnisse der beiden letzten Übungen auf den Ring R[[ X ]] der formalen Potenzreihen.