6. Unterstrukturen
Oftmals bildet eine Teilmenge des Trägers einer Struktur in natürlicher Weise wieder eine Struktur. Ein Beispiel ist die Menge G ⊆ ℕ der geraden Zahlen zusammen mit der üblichen Addition, die ja auf ℕ (und weiter auf ℤ, ℚ, ℝ und ℂ erklärt ist). Wichtig sind dabei zwei Eigenschaften:
(1) | Die Abgeschlossenheit der Teilmenge: Die Anwendung von Operationen auf zwei Elemente der Teilmenge ergibt stets wieder ein Element der Teilmenge. |
(2) | Die Teilmenge enthält alle ausgezeichneten Konstanten (wie e, 0, 1) der Struktur. |
Ist dies erfüllt (und nur dann), können wir eine Unterstruktur bilden. In vielen Unterstrukturen gelten nun auch die Axiome, die die große Struktur kennzeichnen. So ist zum Beispiel die Menge G mit der Addition und der Null wie ℕ ein kommutatives Monoid. In diesem Kapitel verfolgen wir dieses algebraische Grundmotiv genauer. Dabei stehen die Untergruppen im Zentrum des Interesses. Ein überraschendes Ergebnis der Untersuchung ist, dass Gruppen mit Primzahlordnung immer kommutativ sind.