Kriterien für Unterstrukturen

Der Nachweis, dass eine Unterstruktur die Axiome der Ausgangsstruktr erfüllt, lässt sich in vielen Fällen vereinfachen. Die erste Beobachtung ist:

Satz (Gültigkeit des Assoziativgesetzes)

In einer Unterstruktur einer assoziativen Struktur gilt das Assoziativgesetz. Damit ist jede Unterstruktur (B, ∘) einer Halbgruppe eine Unterhalbgruppe und jede Unterstruktur (B, ∘, e) eines Monoids (A, ∘, e) ein Untermonoid.

Beweis

Gilt das Assoziativgesetz für alle Elemente von A, so gilt insbesondere für alle Elemente einer Teilmenge von B.

Allgemein vererben sich in dieser Weise reine Allaussagen auf Unterstrukturen. Bei Existenzaussagen sind die Verhältnisse komplizierter, da eine größere Struktur mehr Elemente „sieht“ als eine kleinere.

Der obige Satz erledigt Unterhalbgruppen und Untermonoide, sodass wir uns den Untergruppen zuwenden können. Dass eine Teilmenge U einer Gruppe G eine Untergruppe bildet, ist äquivalent zu:

(1)	U ist abgeschlossen unter ∘.

(2)

e  ∈  U.

(3)	(U, ∘, e) erfüllt die Gruppenaxiome.

Da aus (1) und (2) folgt, dass (U, ∘, e) ein Untermonoid ist, reduziert sich der Nachweis von (3) auf den Beweis der Existenz von Inversen in U:

(3)* ∀a  ∈  U ∃b  ∈  U a ∘ b = e = b ∘ a.

Diese Aussage ist aufgrund der Eindeutigkeit von Inversen wiederum äquivalent zur Abgeschlossenheit von U unter der Inversenbildung in G:

(3)** ∀a ∈  U a⁻¹  ∈  U.

Überraschenderweise lässt sich der Beweis von (1) − (3) sehr kompakt organisieren. Zu den Klassikern der elementaren Gruppentheorie zählt folgendes Kriterium, das den Nachweis, dass eine Teilmenge einer Gruppe eine Untergruppe bildet, in vielen Fällen sehr vereinfacht:

Satz (Untergruppenkriterium)

Sei (G, ∘, e) eine Gruppe, und sei U ⊆ G. Dann ist U genau dann eine Untergruppe von G, wenn gilt:

(UG1)	U ≠ ∅.
(UG2)	∀a, b  ∈  U a ∘ b^{− 1}  ∈  U.

Der Leser beachte, dass wir in (UG2) nicht voraussetzen, dass b⁻¹ in U ist. Wir betrachten zwei beliebige Elemente a, b von U, bilden in das Inverse b⁻¹ von b innerhalb der Gruppe G und zeigen dann, dass a ∘ b⁻¹  ∈  U. Dass U abgeschlossen unter Invertierung ist, wird gefolgert. Genaueres zeigt der folgende Beweis.

Beweis

Sei zunächst U eine Untergruppe von G. Dann ist e  ∈  U, also U ≠ ∅. Sei nun b  ∈  U. Da U eine Gruppe mit neutralem Element e ist, gibt es ein c  ∈  U mit b ∘ c = e. Dann ist aber c = b⁻¹ und damit b⁻¹  ∈  U. Als Unterstruktur ist U abgeschlossen unter ∘. Damit ist a ∘ b^{− 1}  ∈  U für alle a, b  ∈  U.

Es gelte nun (UG1) und (UG2). Sei c  ∈  U beliebig. Dann ist e = c ∘ c⁻¹  ∈  U. Für alle a  ∈  U ist dann weiter

a^{− 1} = e ∘ a⁻¹  ∈  U.

Damit ist U abgeschlossen unter Invertierung. Hieraus ergibt sich nun die Abgeschlossenheit von U unter ∘, für alle a, b  ∈  U ist b⁻¹  ∈  U und damit

a ∘ b = a ∘ (b⁻¹)⁻¹  ∈  U.

Dies zeigt, dass U eine Untergruppe von G ist.

Für Ringe und Körper gilt (Übung):

Satz (Unterringkriterium)

Sei (R, +, ·, 0, 1) ein Ring, und sei U ⊆ R. Dann ist U genau dann ein Unterring, wenn gilt:

(a)

1  ∈  U,

(b)	∀a, b  ∈  U a − b  ∈  U,

(c)	∀a, b  ∈  U ab  ∈  U.

Satz (Unterkörperkriterium)

Sei (K, +, ·, 0, 1) ein Körper, und sei U ⊆ K. Dann ist U genau dann ein Unterkörper, wenn gilt:

(a)	U ist ein Unterring,

(b)	∀a  ∈  U (a ≠ 0 → a⁻¹  ∈  U).

Die Distributivgesetze müssen nicht nachgewiesen werden. Sie übertragen sich als reine Allaussagen automatisch auf alle Unterstrukturen von Ringen und Körpern. Das Gleiche gilt für das Kommutativgesetz:

Eine Unterstruktur einer kommutativen Struktur ist kommutativ.

Bei der Erweiterung einer Struktur kann die Kommutativität dagegen verloren gehen. Ein einfaches Beispiel bildet die Erweiterung der trivialen Gruppe { e } zur nichtkommutativen Gruppe S₃.