Übungen
Übung 1
Sei K ein angeordneter Körper. Zeigen Sie, dass für alle a, b ∈ K gilt:
(i) | |a| ≥ 0, |a| = 0 genau dann, wenn a = 0, |
(ii) | |a b| = |a| |b|,(Produktregel) |
(iii) | |a + b| ≤ |a| + |b|,(Dreiecksungleichung) |
(iv) | ||a| − |b|| ≤ |a ± b|.(umgekehrte Dreiecksungleichung) |
Übung 2
Sei K ein angeordneter Körper. Zeigen Sie, dass für alle a, b, c ∈ K gilt:
(i) | 0 < 1, −1 < 0, |
(ii) | 0 < a, b → 0 < a + b, |
(iii) | a, b < 0 → a + b < 0 ∧ 0 < ab, |
(iv) | a < 0 ∧ 0 < b → a b < 0, |
(v) | c > 0 ∧ a < b → c a < c b, |
(vi) | c < 0 ∧ a < b → c b < c a, |
(vii) | 0 < a ∧ b > 1 → a < a b, |
(viii) | 0 < a ∧ b < 1 → ab < a. |
Übung 3
Sei (K, +, ·, 0, 1) ein Körper, und sei M ⊆ K. Wir setzen
−M = { −a | a ∈ M }.
Es gelte:
(a) | K = M ∪ { 0 } ∪ −M. |
(b) | Die Mengen M, { 0 }, −M sind paarweise disjunkt. |
(c) | ∀a, b ∈ M (a + b ∈ M ∧ ab ∈ M). |
Eine Menge mit diesen Eigenschaften heißt eine Menge positiver Elemente von K. Für alle a, b ∈ K setzen wir
a < b falls ∃c ∈ M a + c = b.
Zeigen Sie, dass die Struktur (K, +, ·, 0, 1, <) ein angeordneter Körper mit K+ = M ist.
Übung 4
Geben Sie eine Struktur (K, +, ·, 0, 1, <) an, die kein angeordneter Körper ist, aber die folgenden Eigenschaften besitzt:
(i) | (K, +, ·, 0, 1) ist ein Körper. |
(ii) | (K, <) ist eine lineare Ordnung. |
(iii) | ∀a, b ∈ K (0 < a ∧ 0 < b → 0 < a + b ∧ 0 < ab). |
Übung 5
Sei K ein angeordneter Körper. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
| (A) | ∀a > 0 ∃n 1/n < a.(Archimedisches Axiom) |
| (A)′ | inf({ 1/n | n ≥ 1 }) = 0. |
| (A)″ | ℕ ist nach oben unbeschränkt in K. |
Übung 6
Arbeiten Sie die Beweisskizze der Äquivalenz von (V) und (M) + (A) in einem angeordneten Körper zu einem vollständigen Beweis aus.