Urnen-Modelle

 Die Formel

|℘_k(A)|  =  $( \genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{n}}{\mathrm{k}} )$  mit  n = |A|(Anzahl der k-elementigen Teilmengen)

rechtfertigt die Lesart „k aus n“ der Binomialkoeffizienten. Wir wählen k paarweise verschiedene Elemente unter n möglichen. Dies bringt uns zu unserem nächsten Thema:

 Die Mengen T₁, …, T₄ können wir als Ergebnisräume für das blinde Ziehen von k Kugeln aus einer Urne mit nummerierten Kugeln 1, …, n auffassen:

T₁  wird gewählt für  Ziehen mit Reihenfolge, mit Zurücklegen,

T₂  wird gewählt für  Ziehen mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen,

T₃  wird gewählt für  Ziehen ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen,

T₄  wird gewählt für  Ziehen ohne Reihenfolge, mit Zurücklegen.

 Für T₃ und T₄ gilt dabei: Die nummerierten Kugeln werden nach der Ziehung monoton steigend angeordnet. Dadurch werden Mengen bzw. Multimengen in natürlicher und eindeutiger Weise (im funktionalen Sinn) zu Tupeln. Beim Experiment des dritten Typs mit n = 8 und k = 6 wird aus der Ziehung 4, 5, 3, 6, 8, 1 zum Beispiel das Ergebnis (1, 3, 4, 5, 6, 8). Das gleiche Ergebnis erhalten wir, wenn die Kugeln 1, 8, 6, 3, 4, 5 gezogen werden.

 Das Vorgehen entspricht der Mitteilung des Ergebnisses einer Ziehung beim Lotto. Die gezogenen Kugeln werden nach der Ziehung streng monoton steigend angeordnet.

Gleichverteilung für T₁, T₂ und T₃

 Für die Urnenexperimente mit den Ergebnisräumen T₁, T₂ bzw. T₃ gilt:

(◇)  Jedes Ergebnis (a₁, …, a_k) ist gleichwahrscheinlich.

Diese Aussage lässt sich nicht im mathematischen Sinne beweisen, da sie sich nicht innerhalb der mathematischen Sprache formulieren lässt. Möglich ist eine physikalische Begründung wie zum Beispiel „aus Symmetriegründen“ und weiter die statistische Überprüfung, ob das durch (◇) definierte mathematische Modell korrekt ist. Dieses Problem betrifft alle Modellierungen der Wahrscheinlichkeitstheorie: Ein reales Zufallsexperiment − hier: das Ziehen von Kugeln aus einer Urne mit bestimmten Regeln − wird mathematisch durch eine Ergebnismenge und ein zugehöriges Wahrscheinlichkeitsmaß beschrieben. Ob das Modell dem Experiment entspricht, lässt sich begründen und durch Vergleich von statistischen Werten mit mathematischen Vorhersagen überprüfen, nicht aber beweisen.

 Unter der Modellierung (◇) ergibt sich für die ersten drei Urnenexperimente 1/|T₁|, 1/|T₂| bzw. 1/|T₃| als Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis.

Die Verteilung für das Ziehen ohne Reihenfolge mit Zurücklegen

 Die Modellierung für das Ziehen ohne Reihenfolge, aber mit Zurücklegen ist komplizierter, da wir hier keine Gleichverteilung mehr vorfinden. Um dies einzusehen, betrachten wir einen besonders übersichtlichen Fall:

 Die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für T₄ = T₄(n, k) erfordert das kombinatorische Zählen von Tupeln in T₁ = T₁(n, k), die durch monotone Anordnung zum gleichen Tupel in T₄ führen. Wir betrachten also in T₁ die Äquivalenz

(a₁, …, a_k)  ≡   (b₁, …, b_k)  falls  g(a₁, …, a_n)  =  g(b₁, …, b_k),

wobei die Funktion g : T₁ → T₄ die monotone Anordnung eines Tupels beschreibt, etwa g(1, 3, 1, 2) = (1, 1, 2, 3) = g(3, 1, 1, 2). Im Unterschied zu den bisherigen Identifizierungen sind die Klassen dieser Äquivalenz nicht mehr gleichgroß. Hierin liegt der Grund für die größere Komplexität des Modells für das Ziehen ohne Reihenfolge mit Zurücklegen.

 Um die Größe der Äquivalenzklassen zu bestimmen, notieren wir die Elemente von T₄ in der Block-Form

(1 : k₁,  2 : k₂,  …,  n : k_n),  mit  k₁ + … + k_n = k,

mit der Bedeutung: k₁ mal 1, k₂ mal 2, …, k_n mal n.

 Im Urnenexperiment bedeutet das Ergebnis (1 : k₁,  2 : k₂,  …,  n : k_n), dass die Kugel 1 genau k₁ mal, die Kugel 2 genau k₂ mal, …, gezogen wird.

 Seien nun n, k ≥ 1 und k₁, …, k_n ≥ 0 gegeben mit k₁ + … + k_n = k. Wir setzen

M  =  { (a₁, …, a_k)  ∈  T₁ | g(a₁, …, a_k) = (1 : k₁,  2 : k₂,  …,  n : k_n) }.

Zur Bestimmung der Kardinalität |M| argumentieren wir wie folgt: Wir betrachten ein k-Tupel (u, …, u), wobei u für „undefiniert“ steht. Nun wählen wir k₁ Stellen, die wir mit dem Eintrag 1 beschreiben. Hierzu gibt es „k₁ aus k“ Möglichkeiten. Unter den verbleibenden k − k₁ freien Stellen wählen wir nun k₂ Stellen aus, die wir mit 2 beschreiben. Hierzu gibt es „k₂ aus k − k₁“ Möglichkeiten. Im nächsten Schritt haben wir „k₃ aus k − k₁ − k₂“ Möglichkeiten, um k₃ freie Stellen mit 3 zu beschreiben usw. Insgesamt erhalten wir

Es gilt |T₁| = n^k. Damit definieren wir die Wahrscheinlichkeit, das Ergebnis (1 : k₁, 2 : k₂, …, n : k_n) in T₄ zu erhalten, als

P(1 : k1, 2 : k2, …, n : kn)  =  1nk k!k1! … kn!.

Simultanes Ziehen

 Wir betrachten unsere Überlegungen zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für T₄ noch in einem etwas anderen Licht. Seien also wieder n, k ≥ 1 gegeben. Wir stellen uns nun k Urnen vor, in denen sich jeweils nummerierte Kugeln 1, …, n befinden. Nun ziehen wir gleichzeitig (oder zumindest unabhängig voneinander) aus jeder Urne eine Kugel und tragen die Ergebnisse zusammen, sodass wir wieder ein Tupel (1 : k₁, 2 : k₂, …, n : k_n) in T₄ erhalten. Obige Argumentation zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für dieses Tupel können wir übernehmen, wobei die Stellen des k-Tupels (u, …, u) nun den k Urnen entsprechen: In k₁ Urnen wird die 1 gezogen, in k₂ Urnen die 2 usw. Damit entspricht das Ziehen von k aus n Kugeln ohne Reihenfolge mit Zurücklegen dem simultanen Ziehen je einer Kugel aus k Urnen mit je n Kugeln ohne Beachtung der Reihenfolge. Mit realen Urnen wirkt diese Überlegung eher konstruiert, bei der Sammlung zufälliger Daten von k weltweit durchgeführten Experimenten ist dagegen die Vorstellung eines Zurücklegens weniger intuitiv.