Echte Klassen

 Um die Diskussion zu vereinfachen, führen wir einige Notationen und Sprechweise für Komprehensionen ein. Für Mengen a, b und Eigenschaften ℰ(a), ℱ(a) vereinbaren wir:

 Einen Ausdruck { a | ℰ(a) } nennen wir auch eine Klasse. Genauer heißt der Ausdruck { a | ℰ(a) } die Klasse aller Mengen mit der Eigenschaft ℰ(a) oder die durch die Eigenschaft ℰ(a) definierte Klasse. All dies sind lediglich suggestive Notationen und Sprechweisen. In unserer Theorie ist jedes Objekt eine Menge, die Quantoren ∀a und ∃a beziehen sich immer auf Mengen. Klassen sind durch Eigenschaften definierte formale Ausdrücke. Aufgrund der Definitionen der obigen Tabelle sind sie jedoch sehr nützlich, um Eigenschaften und Resultate von ZFC beschreiben zu können. Beispiele hierzu sind:

Die Axiome II, III, IV, V, VII, VIII besagen, dass gewisse Klassen Mengen sind.

Die Allklasse V = { a | a = a } ist eine echte Klasse.

Die Russell-Klasse R = { a | a  ∉  a } ist eine echte Klasse.

Die Klasse { b | b  ∈  a ∧ b  ∉  b } ist eine Menge (nach dem Aussonderungsschema).

Die Verwendung von Klassen lässt sich aus jeder Aussage eliminieren. Wir betrachten hierzu die zweite Aussage „V ist eine echte Klasse“. Sie bedeutet

¬ ∃a ∀b (b  ∈  a  ↔  b = b)  oder logisch äquivalent  ¬ ∃a ∀b b  ∈  a.

In dieser Form ist nur noch von Mengen die Rede.

 Es gibt Versionen der axiomatischen Mengenlehre, in denen neben Mengen auch echte Klassen als Objekte zugelassen sind. Echte Klassen zeichen sich dadurch aus, dass sie in keiner Menge als Element enthalten sind. Durch unsere Vereinbarungen können wir auch in ZFC über Klassen reden, ohne sie in die Theorie mit aufzunehmen. Cantor hat echte Klassen auch als „inkonsistente Vielheiten“ bezeichnet. Wir können eine echte Klasse als Zusammenfassung auffassen, aber nicht mehr als eine Zusammenfassung zu einem Ganzen, die in weiteren Zusammenfassungen als Element enthalten sein könnte. Echte Klassen sind, so lautet die Interpretation der Paradoxien, zu groß, um noch Mengen sein zu können.