Aussagenlogische Tautologien
Wir versammeln in tabellarischer Form einige häufig verwendete und daneben auch interessante Zusammenhänge für die Junktoren. Alle folgenden Aussagen sind Tautologien, für beliebige Aussagen A, B, C.
| (T 1) | ¬ ¬ A ↔ A, (Stabilität, duplex negatio affirmat) |
| A ∨ ¬ A, (Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten, tertium non datur) | |
| A → A, | |
| A → (B → A), | |
| (T 2) | ⊥ ↔ A ∧ ¬ A, |
| ⊥ → A, (ex falso quodlibet) | |
| ¬ A ↔ A → ⊥, | |
| (T 3) | A → B ↔ ¬ B → ¬ A, (Kontrapositionsgesetz) |
| (T 4) | A ∧ (A → B) → B, (modus ponens, tautologische Form) |
| ¬ B ∧ (A → B) → ¬ A, (modus tollens, tautologische Form) | |
| (T 5) | (A ↔ B) ↔ (¬ A ↔ ¬ B), |
| ¬ (A ↔ B) ↔ (A ∨ B) ∧ ¬ (A ∧ B), | |
| (T 6) | ¬ (A → B) ↔ A ∧ ¬ B, |
| ¬ A → B ↔ A ∨ B, | |
| (T 7) | A → (B → C) ↔ A ∧ B → C, (Auflösung von Implikationsketten) |
| A → (B → C) ↔ B → (A → C), | |
| (T 8) | A ↔ (B → A) ∧ (¬ B → A), (Fallunterscheidung) |
| (T 9) | (A → B) ∧ (B → C) → (A → C), (Kettenschluss) |
| (A ∧ B → C) ∧ (A → B) → (A → C), (Fregescher Kettenschluss) | |
| (T 10) | ¬ (A ∧ B) ↔ ¬ A ∨ ¬ B, |
| ¬ (A ∨ B) ↔ ¬ A ∧ ¬ B, (de Morgansche Regeln) | |
| (T 11) | A ∨ (B ∧ C) ↔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C), |
| A ∧ (B ∨ C) ↔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C), (Distributivgesetze) | |
| (T 12) | (A → C) ∧ (B → C) ↔ (A ∨ B) → C, |
| (A → C) ∨ (B → C) ↔ (A ∧ B) → C, | |
| (A → B) ∧ (A → C) ↔ A → B ∧ C, | |
| (A → B) ∨ (A → C) ↔ A → B ∨ C, | |
| (T 13) | ((A → B) → A) → A, (Peirce-Formel) |
| (T 14) | A ∧ B → C ∨ D ↔ (A → C) ∨ (B → D). |
Dass diese Aussagen Tautologien sind, kann mit Hilfe von Wahrheitstafeln, durch inhaltliches Argumentieren oder mit Hilfe der Schlussregeln gezeigt werden. Oft folgen neue Tautologien auch aus der geschickten Kombination von bereits bekannten Tautologien. Für die zweite Aussage in (T12) gilt zum Beispiel die folgende schrittweise Umformung in paarweise äquivalente Aussagen:
| (A → C) ∨ (B → C) | ↔ (A ∧ B) → C | gdwnach (T5) |
| ¬ ((A → C) ∨ (B → C)) | ↔ ¬ ((A ∧ B) → C) | gdwnach (T10) |
| ¬ (A → C) ∧ ¬ (B → C) | ↔ ¬ ((A ∧ B) → C) | gdwnach (T6) |
| A ∧ ¬ C ∧ B ∧ ¬ C | ↔ A ∧ B ∧ ¬ C. |
womit wir bei einer offenbar richtigen Aussage angelangt sind.
Der Leser möge eine Wahrheitstafel für die Tautologie
(A → C) ∨ (B → C) ↔ (A ∧ B) → C
erstellen. Dabei zeigt sich, dass die linke wie die rechte Seite nur für die Wahrheitswerte w, w, f von A, B, C falsch ist. Dies kann man sich auch leicht argumentativ klarmachen (und damit die Tautologie beweisen).