Mengensysteme
Von Interesse sind oft „gute“ Teilmengen der Potenzmenge. Wir definieren hierzu:
Definition (Mengensystem auf einer Menge)
Sei A eine Menge, und sei 𝒜 ⊆ ℘(A). Dann heißt 𝒜 ein Mengensystem auf A.
Alle Elemente eines Mengensystems 𝒜 auf A sind also Teilmengen der Menge A. Die einfachsten Beispiele für Mengensysteme auf A sind ∅ und ℘(A). Sind 𝒜 und ℬ Mengensysteme auf A, so auch 𝒜 ∪ ℬ und 𝒜 ∩ ℬ.
Für Mengensysteme können wir eine Schnitt- und Vereinigungsoperation einführen:
Definition (Durchschnitt und Vereinigung eines Mengensystems)
Für ein Mengensystem 𝒜 setzen wir:
| ⋂ 𝒜 | = { a | ∀B ∈ 𝒜 a ∈ B }, falls 𝒜 ≠ ∅, (großer Durchschnitt) |
| ⋃ 𝒜 | = { a | ∃B ∈ 𝒜 a ∈ B }. (große Vereinigung) |
Für 𝒜 = { { a, b, c }, { b, c }, { b, d } } ist z. B. ⋃ 𝒜 = { a, b, c, d } und ⋂ 𝒜 = { b }.
In dieser Definition verwenden wir die so genannten beschränkten Quantoren „für alle x ∈ X“ und „es gibt ein x ∈ X“. Diese lassen sich wie folgt auf die üblichen Quantoren zurückführen:
∀x ∈ X A(x, X) wird definiert als ∀x (x ∈ X → A(x, X)),
∃x ∈ X A(x, X) wird definiert als ∃x (x ∈ X ∧ A(x, X)).
Wir schreiben zudem „∀x, y ∈ X“ für „∀x ∈ X ∀y ∈ X“. Analoge Notationen gelten für den Existenzquantor.
Ein Mengensystem 𝒜 auf A heißt abgeschlossen unter Vereinigungen, falls für alle B, C ∈ 𝒜 gilt, dass B ∪ C ∈ 𝒜. Analog ist die Abgeschlossenheit unter Durchschnitten und Komplementbildungen definiert.
Definition (Mengenverband, Mengenalgebra)
Sei 𝒜 ein Mengensystem auf einer Menge A. Ist 𝒜 abgeschlossen unter Vereinigungen und Durchschnitten und gilt ∅ ∈ 𝒜, so heißt 𝒜 ein Mengenverband auf A. Ist 𝒜 zudem abgeschlossen unter Komplementbildung in A, so heißt 𝒜 eine Mengenalgebra auf A.
In der allgemeinen Mathematik treten Mengen in vielen Fällen in der folgenden Form auf: Studiert wird ein Bereich X von Objekten, etwa gewisse Zahlen oder gewisse Funktionen. Dieser Bereich X ist eine Menge und die Elemente von X werden meist mit passenden kleinen Buchstaben bezeichnet, etwa x, y, z für reelle Zahlen, n, m, k für natürliche Zahlen, f, g, h für Funktionen. Für Teilmengen von X verwendet man nun große Buchstaben wie A, B, C. Schließlich werden dann Zeichen wie 𝒜, ℬ, 𝒞 für Mengensysteme auf X verwendet. Ist X die Menge der reellen Zahlen, so bezeichnen also
a, b, c, … reelle Zahlen,
A, B, C, … Mengen von reellen Zahlen (z. B. Intervalle), und
𝒜, ℬ, 𝒞 Mengen von Mengen reeller Zahlen,
etwa 𝒜 = { I | I ist ein offenes reelles Intervall }. Diese Komplexitätsstufung in „Punkt, Menge von Punkten, Mengensystem“ und zugehörigen Zeichen a, A, 𝒜 erleichtert in vielen Fällen die Lesbarkeit, sie ist aber keineswegs zwingend und wird auch nicht konsequent durchgeführt. In der Mengenlehre ist sie unzweckmäßig, denn streng genommen ist ja bereits (a, b) = { { a }, { a, b } } ein Mengensystem. Hier sind dann Schreibweisen wie ⋂ x durchaus üblich; das „kleine x“ kann dabei ein sehr kompliziertes Mengensystem sein.