Konstruktion der ganzen Zahlen

 Wir können zwei natürliche Zahlen a und b immer addieren, aber nicht immer subtrahieren. Diese Beschränkung ist insbesondere bei algebraischen Umformungen hinderlich. Wir erweitern deswegen die natürlichen Zahlen um die sog. negativen Zahlen. Für jede natürliche Zahl n wird eine neue Zahl − n eingeführt, und auf dem so erweiterten Zahlbereich wird eine Addition erklärt derart, dass n + (− n) = 0 für alle natürlichen Zahlen gilt. Technisch können wir diese Erweiterung mit Hilfe eines prinzipiell beliebigen Zeichens „−“ durchführen und die ganzen Zahlen ℤ als Menge ℕ ∪ { − n | n  ∈  ℕ } definieren, wobei − n = (−, n). Auf dieser Menge lässt sich dann leicht eine Addition, Multiplikation und Ordnung erklären.

 Eleganter ist die folgende algebraische Konstruktion der ganzen Zahlen, die auch dem Prinzip „Neues aus Altem“ besser gerecht wird. Die Idee ist hier, ein Paar (n, m) von natürlichen Zahlen als die Subtraktion n − m zu lesen. Dann ist (n, 0) = n − 0 = n, aber (0, n) = 0 − n = − n. Ebenso ist (n, m) = (n + k, m + k) für alle k, denn es gilt (n + k) − (m + k) = n − m. Gewisse Paare werden also miteinander gleichgesetzt, was wir mit Hilfe einer Äquivalenzrelation durchführen können. Dabei muss eine Subtraktion nicht vorausgesetzt werden, denn n − m = n′ − m′ ist gleichwertig zu n + m′ = n′ + m.

Man zeigt, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf ℕ² ist. Damit definieren wir nun:

 Die Elemente von ℤ schreiben wir zur Vereinfachung der Notation in der Form [ n, m ] anstelle von (n, m)/∼.

 Nun definieren wir eine Addition und eine Multiplikation auf ℤ:

 Man zeigt leicht, dass diese Operationen wohldefiniert sind. Sie lassen sich leicht motivieren, wenn wir wie oben erwähnt [ n, m ] als n − m lesen. Wenn die vertrauten Rechengesetze gelten sollen, so ist

(n − m) · (n′ − m′)  =  (n n′ + m m′) − (n m′ + m n′).

Damit können wir die Multiplikation gar nicht anders definieren. Analoge Überlegungen gelten für die Addition.

 Wie üblich vereinbaren wir, dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition, und dass wir in symbolischen Rechnungen Malpunkte weglassen können. Damit ist dann z. B. ab + c = (a · b) + c für alle ganzen Zahlen a, b, c. Weiter setzen wir a⁰ = [ 1, 0 ] für alle a  ∈  ℤ und definieren rekursiv a^n + 1 = aⁿ · a für alle n  ∈  ℕ.

 Damit ist eine Subtraktionsoperation auf den ganzen Zahlen eingeführt.

 Die Bezeichnung von − [ n, m ] als additiv Inverses ist in der Tat gerechtfertigt, denn es gilt:

[ n, m ]  −  [ n, m ]  =  [ n, m ]  +  [ m, n ]  =  [ n + m, m + n ]  =  [ n + m, n + m ]  =  [ 0, 0 ].

Zur weiteren Vereinfachung der Notation schreiben wir

n  für  [ n, 0 ]  für alle n  ∈  ℕ.

In Übereinstimmung mit dieser Notation sehen wir auch ℕ als eine Teilmenge von ℤ an, indem wir n  ∈  ℕ und [ n, 0 ] miteinander identifizieren. Diese Identifikation respektiert die arithmetischen Operationen auf den beiden Zahlbereichen, denn es gilt für alle n, m  ∈  ℕ:

n + m  =  [ n, 0 ] + [ m, 0 ]  =  [ n + m, 0 ],  n · m  =  [ n, 0 ]  ·  [ m, 0 ]  =  [ n m, 0 ].

Weiter gilt mit dieser Notation für alle [ n, m ]  ∈  ℤ:

[ n, m ]  =  [ n, 0 ] + [ 0, m ]  =  [ n, 0 ] − [ m, 0 ]  =  n − m,

d. h. alle ganzen Zahlen lassen sich als Differenz zweier Elemente des Bereichs ℕ schreiben, der unseren Ausgangspunkt bildete. Damit ist unser Vorhaben, eine Subtraktion zu ermöglichen, in minimaler Weise durchgeführt.