Konstruktion der rationalen Zahlen

Bei der Betrachtung der Rechengesetze für die ganzen Zahlen fällt auf, dass inverse Elemente für die Addition immer existieren, während 1 und − 1 die einzigen ganzen Zahlen sind, die ein multiplikatives Inverses besitzen: Gilt a · b = 1 für ganze Zahlen a, b, so ist a = 1 oder a = − 1. In ℤ können wir nicht frei dividieren, so wie wir in ℕ nicht frei subtrahieren konnten. Dies führt uns zur Konstruktion der rationalen Zahlen. Die Idee ist hier, ein Paar (a, b) ganzer Zahlen a, b mit b ≠ 0 als Bruch a/b zu lesen. Die Durchführung verläuft analog zur Konstruktion von ℤ.

Definition (Äquivalenzrelation zur Konstruktion der rationalen Zahlen)

Sei ℤ* = ℤ − { 0 }. Wir definieren für alle (a, b), (c, d)  ∈  ℤ × ℤ*:

(a, b) ∼ (c, d), falls a · d = c · b.

Dann ist ∼ eine Äquivalenzrelation auf ℤ × ℤ* und wir definieren:

Definition (rationale Zahlen)

Wir setzen ℚ = (ℤ × ℤ*)/∼. Die Elemente von ℚ heißen rationale Zahlen.

Wir schreiben rationale Zahlen zur Vereinfachung der Notation in der Bruch-Form a/b anstelle von (a, b)/∼.

Aus der Definition von ∼ folgt die Kürzungsregel

(ac)/(bc) = a/b für alle a  ∈  ℤ und b, c  ∈  ℤ*.

Ein Bruch a/b mit a ≠ 0 heißt gekürzt, wenn es keine a′  ∈  ℤ und b′, c  ∈  ℤ*, c ≠ 1, gibt derart, dass a/b = (a′c)/(b′c).

Wir definieren nun eine Addition und eine Multiplikation auf ℚ:

Definition (Arithmetik auf ℚ)

Für alle a/b, c/d  ∈  ℚ setzen wir:

a/b + c/d	= (ad + bc)/(bd),
a/b · c/d	= (ac)/(bd).

Wieder sind diese Operationen wohldefiniert.

Definition (multiplikativ Inverses, Division)

Wir definieren für alle a/b  ∈  ℚ mit a ≠ 0:

(a/b)⁻¹ = b/a.

Die Zahl (a/b)⁻¹ heißt das multiplikative Inverse von a/b. Wir setzen:

(a/b) / (c/d) = (a/b) · (c/d)⁻¹ für alle a/b, c/d  ∈  ℚ mit c ≠ 0.

Die Zahl (a/b)/(c/d) heißt der Quotient der rationalen Zahlen a/b und c/d.

Damit ist eine Divisionsoperation auf den rationalen Zahlen eingeführt. Nach Definition der Multiplikation und der Inversenbildung gilt

(a/b)/(c/d) = (a/b) · (c/d)⁻¹ = (a/b) · (d/c) = (ad)/(bc).

Zur Rechtfertigung der Bezeichnung von (a/b)⁻¹ als multiplikatives Inverses rechnen wir:

(a/b) / (a/b) = a/b · b/a = (ab)/(ab) = 1/1.

Wir können wieder ℤ als Teilmenge von ℚ auffassen, indem wir jedes a  ∈  ℤ mit a/1  ∈  ℚ identifizieren. Die Arithmetik auf ℤ wird dadurch respektiert, und für alle a  ∈  ℤ und b  ∈  ℤ* gilt

a/b = a/1 · 1/b = a/1 · (b/1)⁻¹ = a · b⁻¹,

d. h. alle rationalen Zahlen lassen sich als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben. Damit ist ℚ eine minimale Erweiterung von ℤ, in der Divisionen durchgeführt werden können.

Für alle q ≠ 0 ist q⁻¹ = 1/q, denn ist q = a/b, so ist q⁻¹ = b/a nach Definition des Inversen, und ebenso gilt 1/q = (1/1)/(a/b) = b/a nach Definition der Division.