Übungen
Übung 1 (Konstruktion der ganzen Zahlen, I)
Für alle (n, m), (n′, m′) ∈ ℕ × ℕ setzen wir:
(n, m) ∼ (n′, m′), falls n + m′ = n′ + m.
Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf ℕ2 ist. Welche Eigenschaft der Addition auf ℕ verwenden Sie zum Beweis der Transitivität?
Übung 2 (Konstruktion der ganzen Zahlen, II)
Zeigen Sie, dass die Addition und die Multiplikation auf ℤ wohldefiniert sind.
Übung 3 (Rechengesetze und Ordnung der ganzen Zahlen, I)
Beweisen Sie möglichst viele der Rechengesetze für die ganzen Zahlen.
Übung 4 (Rechengesetze und Ordnung der ganzen Zahlen, II)
Beweisen Sie mit Hilfe des Distributivgesetzes und der Rechenregeln für die Addition, dass (− 1) · (− 1) = 1 gilt (ohne auf die Definition der Addition und der Multiplikation auf ℤ zurückzugreifen).
[ Betrachten Sie die Summe von (− 1) (− 1) und (− 1). ]
Übung 5 (Rechengesetze und Ordnung der ganzen Zahlen, III)
Für alle [ n, m ], [ n′, m′ ] ∈ ℤ setzen wir:
[ n, m ] ≤ [ n′, m′ ], falls n + m′ ≤ n′ + m.
Zeigen Sie, dass ≤ eine wohldefinierte lineare Ordnung auf ℤ ist.
Übung 6 (Rechengesetze und Ordnung der ganzen Zahlen, IV)
Zeigen Sie, dass für alle ganzen Zahlen a, b gilt:
a ≤ b gdw „es gibt ein n ∈ ℕ mit a + n = b“.
Übung 7 (Konstruktion der rationalen Zahlen, I)
Für alle (a, b), (c, d) ∈ ℤ × ℤ* setzen wir:
(a, b) ∼ (c, d), falls a · d = c · b.
Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf ℤ × ℤ* ist.
Übung 8 (Konstruktion der rationalen Zahlen, II)
Zeigen Sie, dass die rationalen Zahlen abzählbar sind, d. h. es gibt eine Folge q0, q1, …, qn, …, n ∈ ℕ, in der alle rationalen Zahlen vorkommen.
[ Zählen Sie gekürzte Brüche a/b ab nach der Summe |a| + |b|:
0, 1/1, − 1/1, 2/1, − 2/1, 1/2, − 1/2, 3/1, − 3/1, 1/3, − 1/3, … ]
Übung 9 (Rechengesetze und Ordnung der rationalen Zahlen, I)
Wir setzen für alle a, b, c, d ∈ ℤ mit b, d > 0:
a/b ≤ c/d, falls a · d ≤ c · b.
Zeigen Sie, dass ≤ eine wohldefinierte lineare Ordnung auf ℚ ist.
Übung 10 (Rechengesetze und Ordnung der rationalen Zahlen, II)
Zeigen Sie, dass für alle a, b, c, d ∈ ℤ mit b, d ≠ 0 gilt:
a/b ≤ c/d gdw a · b · d2 ≤ c · d · b2.
Übung 11 (Rechengesetze und Ordnung der rationalen Zahlen, III)
Zeigen Sie, dass die rationalen Zahlen dicht geordnet sind:
Für alle q < p in ℚ gibt es ein r ∈ ℚ mit q < r < p.
Übung 12 (Rechengesetze und Ordnung der rationalen Zahlen, IV)
Sei M abzählbar, und sei ≤ eine dichte und unbeschränkte lineare Ordnung auf M. Zeigen Sie, dass (M, ≤) isomorph zur Ordnung (ℚ, ≤) der rationalen Zahlen ist.
[ Zählen Sie M und ℚ auf als x0, x1, …, xn, … bzw. q0, q1, …, qn, …, und konstruieren Sie rekursiv Werte f (xn) so, dass die Elemente x0, …, xn in M genauso liegen wie die Elemente f (x0), …, f (xn) in ℚ, d. h. es gilt xi < xj genau dann, wenn f (xi) < f (xj).
Definieren Sie ein geeignetes f (xn) = qk mit möglichst kleinem Index k, damit alle rationalen Zahlen irgendwann als Wert von f erscheinen. Dann ist die Funktion f : M → ℚ ein Isomorphismus. ]
Übung 13 (Körper, I)
Sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass für alle x, y ∈ K gilt:
(i) | x · 0 = 0 · x = 0, |
(ii) | x y = 0 gdw x = 0 oder y = 0, (Nullteilerfreiheit) |
(iii) | (− 1) x = − x. |
Übung 14 (Körper, II)
Sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass für alle a, b, c, d ∈ K mit b, d ≠ 0 gilt:
a/b + c/d = (ad + bc)/bd,
wobei x/y definiert ist als xy−1 für alle x, y ∈ K, y ≠ 0.
Beweisen Sie weitere Rechengesetze des Bruchrechnens.
Übung 15 (Körper, III)
Führen Sie eine Addition und Multiplikation auf { 0, 1 } ein, sodass ein Körper auf { 0, 1 } entsteht. Lässt sich dieser Körper anordnen?
Übung 16 (Körper, IV)
Konstruieren Sie einen Körper auf { 0, 1, 2, 3 }.
Übung 17 (Körper, V)
Zeigen Sie, dass es keinen Körper mit genau sechs Elementen geben kann.
[ Betrachten Sie a = 1 + 1 und b = 1 + 1 + 1 und zeigen Sie 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0. ]
Übung 18 (Körper, VI)
Zeigen Sie, dass wir für endliche K in der Körperdefinition die Existenz von multiplikativ inversen Elementen durch die Nullteilerfreiheit ersetzen können, d. h. wir fordern stattdessen, dass x y ≠ 0 für alle x, y ∈ K − { 0 } gilt.
[ Für endliche Mengen K ist jede Injektion f : K → K eine Bijektion. ]
Übung 19 (Angeordnete Körper, I)
Sei K ein angeordneter Körper. Zeigen Sie, dass für alle x, y, x′, y′ ∈ K gilt:
(i) | x < y und x′ < y′ impliziert x + x′ < y + y′, |
(ii) | x < y und 0 < z impliziert zx < zy, |
(iii) | x, y < 0 impliziert 0 < x y, |
(iv) | 0 < x2 für alle x ≠ 0, insbesondere also 0 < 1, |
(v) | x < 0 < y impliziert x y < 0. |
Übung 20 (Angeordnete Körper, II)
Sei K ein angeordneter Körper. Zeigen Sie, dass für alle x, y ∈ K gilt:
(i) | |x + y| ≤ |x| + |y|, (Dreiecksungleichung) |
(ii) | |x y| = |x| |y|. (Produktregel) |
Übung 21 (Angeordnete Körper, III)
Sei K ein angeordneter Körper. Zeigen Sie, dass K die Charakteristik 0 besitzt, d. h. es gilt n 1 ≠ 0 für alle n ≥ 1, wobei wieder n 1 ∈ K rekursiv definiert wird durch 0 1 = 0, (n + 1) 1 = n 1 + 1 für alle n ∈ ℕ.
Übung 22 (Angeordnete Körper, IV)
Sei K ein angeordneter Körper. Zeigen Sie, dass die Identifikation von ± (n1) (m1)−1 ∈ K mit ± n/m ∈ ℚ für alle n, m ∈ ℕ, m ≠ 0, die Arithmetik von ℚ respektiert.
Übung 23 (Angeordnete Körper, V)
Sei K ein Körper. Sei M ⊆ K mit:
(a) | K ist die disjunkte Vereinigung von M, { 0 }, − M = { − x | x ∈ M }. |
(b) | M ist abgeschlossen unter Addition und Multiplikation. |
Wir setzen dann für alle x, y ∈ K:
x ≤ y falls „es gibt ein z ∈ M ∪ { 0 } mit x + z = y“.
Zeigen Sie, dass dadurch K zu einem angeordneten Körper mit K+ = M wird.
Übung 24 (Angeordnete Körper, VI)
Sei K ein angeordneter Körper. Dann ist (K, ≤) dicht geordnet, d. h. für alle x < y in K gibt es ein z in K mit x < z < y.