Lineare Abbildungen

Wir wollen nun die Struktureigenschaften der einer (m × n)-Matrix A zugeordneten Abbildung f_A noch genauer beschreiben.

Definition (lineare Abbildung)

Eine Funktion f : Kⁿ → K^m heißt eine lineare Abbildung, falls für alle Vektoren x, y  ∈  Kⁿ und alle Skalare α, β  ∈  K gilt:

f(α x + β y) = α f (x) + β f (y). (Linearitätsbedingung)

Lineare Abbildungen respektieren also die Skalarmultiplikation und die Vektoraddition. Es zeigt sich nun, dass diese Abbildungen genau die Abbildungen der Form f_A sind:

Satz (Hauptsatz über lineare Abbildungen)

(a)	Für jede (m × n)-Matrix A ist f_A : Kⁿ → K^m eine lineare Abbildung.

(b)	Für jede lineare Abbildung f : Kⁿ → K^m existiert eine eindeutig bestimmte (m × n)-Matrix A mit f = f_A.

Beweis

zu (a):

Die Behauptung folgt leicht durch direktes Nachrechnen.

zu (b):

Wir definieren eine (m × n)-Matrix A = (a_{i j})_i j durch

a_{i j} = f (e_j) (i) für alle 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Die Spalten von A werden also mit den Bildern der Einheitsvektoren e₁, …, e_n unter der linearen Abbildung f gefüllt.

Für alle x = (x₁, …, x_n) gilt x = ∑_{1 ≤ j ≤ n} x_j e_j. Nach Linearität der Abbildung f gilt also:

f (x) = ∑_{1 ≤ j ≤ n} x_j f (e_j).

Also gilt für alle 1 ≤ i ≤ m:

f (x)(i) = ∑_{1 ≤ j ≤ n} x_j f (e_j)(i) = ∑_{1 ≤ j ≤ n} x_j a_{i j} = f_A(x)(i).

Also gilt f = f_A. Dies zeigt die Existenzbehauptung.

Zum Beweis der Eindeutigkeit sei B eine weitere (m × n)-Matrix mit f = f_B. Dann gilt f_B(e_j) = f (e_j) für alle 1 ≤ j ≤ n. Dann gilt aber

b_{i j} =_{Definition von f_B} f_B(e_j)(i) =_{f = f_B} f (e_j)(i) =_{Definition von a_{i j}} a_{i j} für alle i, j.

Also ist A = B.

Damit haben wir gezeigt, dass das Feld der durch die Linearitätsbedingung f(α x + βy) = α f (x) + β f (y) bestimmten Abbildungen kleiner ist als man denken könnte: Jede lineare Abbildung ist die Berechnungsfunktion der linken Seite eines linearen Gleichungssystems. Umgekehrt sind alle diese Berechnungsfunktionen auch lineare Abbildungen.

Wir definieren:

Definition (darstellende Matrix einer linearen Abbildung)

Ist f : Kⁿ → K^m eine lineare Abbildung. Dann heißt die eindeutige (m × n)-Matrix A mit f = f_A die darstellende Matrix von f.

Der Begriff der linearen Abbildung führt uns nun zu einer geistreichen Multiplikation von Matrizen.