Untergruppen
Viele Gruppen besitzen eine Reihe von Teilmengen, die selbst eine Gruppenstruktur aufweisen. Sie spielen bei der Untersuchung der „Mutter-Gruppe“ eine wesentliche Rolle. Wir definieren:
Definition (Untergruppe)
Sei (G, ·) eine Gruppe, und sei H ⊆ G. H heißt Untergruppe von G, falls H zusammen mit der von G ererbten Multiplikation eine Gruppe bildet, d. h. falls (H, ·|H2) eine Gruppe ist.
Implizit ist in dieser Definition enthalten, dass die Menge H abgeschlossen unter der Gruppenoperation ist, d. h. es gilt a · b ∈ H für alle a, b ∈ H.
Für jede Gruppe (G, ·) mit neutralem Element e sind { e } und G Untergruppen von G, die sog. trivialen Untergruppen von G.
Wir geben einige Beispiele für Untergruppen von konkreten Gruppen. Unter der Addition ist ℤ eine Untergruppe von ℚ, und ℚ selbst ist eine Untergruppe von ℝ. Jede Gerade durch den Nullpunkt ist eine Untergruppe von (ℝ2, +). Die Untergruppen von (ℤ, +) sind genau die Teilmengen von ℤ der Form
ℤd = { kd | k ∈ ℤ }.
Denn jede Menge ℤd ist eine Untergruppe von ℤ, wie leicht zu sehen ist. Ist umgekehrt H eine Untergruppe von ℤ, so ist H abgeschlossen unter der Addition a + b und weiter dann unter der Vervielfachung na, d. h. H ist abgeschlossen unter Linearkombinationen na + mb mit a, b ∈ H und n, m ∈ ℤ. Nach den Ergebnissen des vorletzten Kapitels ist dann also H = { 0 } oder H = ℤd, wobei d das kleinste positive Element von H ist.
Als Nächstes beweisen wir einen nützlichen Satz, der ein hinreichendes und notwendiges Kriterium dafür aufstellt, wann eine Teilmenge einer Gruppe eine Untergruppe der Gruppe bildet.
Satz (Untergruppenkriterium)
Sei (G, ·) eine Gruppe. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(i) | H ist eine Untergruppe von G. |
(ii) | H ≠ ∅, und für alle a, b ∈ H gilt ab ∈ H, a−1 ∈ H. |
(iii) | H ≠ ∅, und für alle a, b ∈ H gilt ab−1 ∈ H. |
Beweis
(i) ↷ (ii):
Da (H, ·|H2) eine Gruppe ist, ist H ≠ ∅ und ab ∈ H für alle a, b ∈ H.
Sei d das neutrale Element von H. Dann gilt − wie in jeder Gruppe −, dass d2 = d. Also ist d d = d e und damit d = e nach der Kürzungsregel.
Das neutrale Element von H ist also das neutrale Element von G.
Ebenso sind die Inversen im Sinne von H die Inversen im Sinne von G:
Denn sei a ∈ H. Dann existiert ein b ∈ H mit ab = d = e. Multiplikation in G von links mit a−1 zeigt, dass b = a−1. Also ist a−1 ∈ H.
(ii) ↷ (iii):
Seien a, b ∈ H. Dann ist c = b−1 ∈ H und weiter dann ab−1 = ac ∈ H nach Voraussetzung.
(iii) ↷ (i):
Wir betrachten die Menge H zusammen mit der von G ererbten Multiplikation. Dann gilt das Assoziativgesetz für alle Elemente von H, da es für alle Elemente von G gilt.
Sei nun a ∈ H beliebig. Dann ist aa−1 = e ∈ H. Für alle a ∈ H ist dann weiter a−1 = ea−1 ∈ H. Da die Multiplikation auf H für Elemente von H mit der Multiplikation auf G übereinstimmt, gilt
ae = ea = a und aa−1 = a−1a = e für alle a ∈ H.
Schließlich ist ab ∈ H für alle a, b ∈ H, denn es gilt b−1 ∈ H nach dem bereits Gezeigten, und damit ist ab = a(b−1)−1 ∈ H nach Voraussetzung. Also ist (H, ·|H2) eine Gruppe.
Wir wollen nun noch eine abstrakte Konstruktionsmethode für Untergruppen einer beliebigen Gruppe vorstellen.
Definition (von einem Element erzeugte Untergruppe)
Sei (G, ·) eine Gruppe, und sei a ∈ G beliebig. Dann heißt
H = { an | n ∈ ℤ }
die von a erzeugte Untergruppe von G.
von a = 2 erzeugte Untergruppe H = { n 2 | n ∈ ℤ } der Gruppe (ℤ, +)
In der Tat ist H eine Untergruppe von G, denn das neutrale Element e = a0 ist in H und für alle an, am ∈ H ist an · (am)−1 = an − m ∈ H nach den Rechenregeln für die Exponentiation. Die Gruppe H ist die kleinste Untergruppe von G, die a als Element enthält. Sie ist immer abelsch, unabhängig davon, ob G abelsch ist oder nicht.
Definition (zyklische Gruppen)
Eine Gruppe (G, ·) heißt zyklisch, wenn es ein a ∈ G gibt derart, dass die von a erzeugte Untergruppe ganz G ist. Jedes derartige a heißt dann ein Generator oder Erzeuger von G.
Eine zyklische Gruppe ist also notwendig abelsch. Nach obiger Überlegung ist jede Untergruppe von (ℤ, +) zyklisch. Bereits die Klein’sche Vierergruppe ist dagegen nicht zyklisch.
Wir definieren weiter:
Definition (Ordnung eines Gruppenelements)
Sei (G, ·) eine Gruppe. Ein a ∈ G heißt von endlicher Ordnung, falls ein n ≥ 1 existiert mit an = e. Wir setzen dann
ordG(a) = „das kleinste n ≥ 1 mit an = e“,
und nennen ordG(a) die Ordnung von a in G.
Hat a ∈ G endliche Ordnung, so ist ordG(a) gleich der Anzahl der Elemente der von a erzeugten Untergruppe.
Für jede abelsche Gruppe (G, +) bildet
H = { a ∈ G | a hat endliche Ordnung }
eine Untergruppe von G, die sog. Torsions-Untergruppe von G.