Der Satz von Lagrange

Für eine endliche Menge M sei wieder |M| die Anzahl der Elemente von M, die Kardinalität von M. Für eine endliche Gruppe G heißt |G| auch die Ordnung von G. Wir zeigen nun:

Satz (Satz von Lagrange)

Sei (G, ·) eine endliche Gruppe, und sei H eine Untergruppe von G.

Dann ist |H| ein Teiler von |G|. Genauer gilt

|G| = (H : G) · |H|,

wobei (H : G) die Anzahl der Rechtsnebenklassen von H in G ist.

Beweis

Für a  ∈  G definieren wir f_a : H → Ha durch f_a(x) = xa für alle x  ∈  H.

Dann ist f_a : H → Ha bijektiv. Also gilt:

(+) |H| = |Ha| für alle a  ∈  G.

Nach obigem Satz ist Z = { Ha | a  ∈  G } eine Zerlegung von G. Also gilt

|G| = |Z| · |H|,

denn G ist die disjunkte Vereinigung von |Z|-vielen Mengen, die nach (+) alle jeweils |H|-viele Elemente besitzen.

Statt „Anzahl der Rechtsnebenklassen“ können wir auch „Anzahl der Linksnebenklassen“ schreiben, denn die Funktion f mit f (aH) = Ha für alle a  ∈  G ist eine wohldefinierte Bijektion zwischen den Links- und Rechtsnebenklassen.

Aus dem Satz folgt unmittelbar:

Korollar (Untergruppen von Gruppen mit Primzahlordnung)

Sei G eine Gruppe, und |G| sei eine Primzahl.

Dann sind { e } und G die einzigen Untergruppen von G.

Damit wird jede Gruppe mit Primzahlordnung von jedem ihrer Elemente ungleich e erzeugt:

Korollar (Gruppen mit Primzahlordnung)

Sei G eine Gruppe mit Primzahlordnung. Dann gilt für alle a  ∈  G mit a ≠ e, dass G = { aⁿ | n  ∈  ℤ }.

Insbesondere ist G zyklisch und damit abelsch.

Beweis

H = { aⁿ | n  ∈  ℤ } ist eine von { e } verschiedene Untergruppe von G.

Also gilt H = G nach dem vorangehenden Korollar.