Übungen

Übung 1 (Der Begriff der Gruppe, I)

Für alle n ≥ 2 heißt ein g  ∈  S_n eine Transposition, falls es 1 ≤ i < j ≤ n gibt mit

g(i) = j, g(j) = i, g(k) = k für alle 1 ≤ k ≤ n mit k ≠ i, j.

(a)	Sei f = (2, 4, 1, 3)  ∈  S₄. Finden Sie Transpositionen g₁, ..., g_k mit f = g₁ ∘ ... ∘ g_k .

(b)	Zeigen Sie allgemein, dass jedes f  ∈  S_n, n ≥ 2, eine Komposition von Transpositionen ist.

Übung 2 (Der Begriff der Gruppe, II)

Sei n ≥ 1. Für alle f  ∈  S_n sei sgn(f) = Π_{1 ≤ i < j ≤ n} (f (i) − f (j))/(i − j) das Signum von f. Zeigen Sie, dass für alle f, g  ∈  S_n gilt:

(i)	sgn(f)  ∈  { − 1, 1 },

(ii)	sgn(f ∘ g) = sgn(f) · sgn(g),

(iii)

sgn(f) = 1 gdw f ist eine Komposition einer geraden Anzahl von Transpositionen.

Übung 3 (Der Begriff der Gruppe, III)

Stellen Sie einen Zusammenhang her zwischen der Gruppe S₃ und allen Spiegelungen und Drehungen eines gleichseitigen Dreieckes.

Übung 4 (Der Begriff der Gruppe, IV)

Sei G eine Menge, und sei · : G × G → G eine Operation auf G mit:

(a)	a · (b · c) = (a · b) · c für alle a, b, c  ∈  G. (Assoziativgesetz)

(b)	Es existiert ein e  ∈  G mit: Für alle x  ∈  G ist x · e = x. (Existenz eines rechtsneutralen Elements)

(c)	Für alle x  ∈  G existiert ein y  ∈  G mit x · y = e. (Existenz eines rechtsinversen Elements)

Zeigen Sie, dass (G, ·) eine Gruppe ist.

Übung 5 (Der Begriff der Gruppe, V)

Sei G eine nichtleere Menge, und sei · : G × G → G eine assoziative Operation auf G. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(a)	(G, ·) ist eine Gruppe.

(b)	Für alle a, b  ∈  G sind die Gleichungen „x · a = b“ und „a · x = b“ lösbar in der Variablen x in G.

Übung 6 (Der Begriff der Gruppe, VI)

Seien G₁, G₂ Gruppen in multiplikativer Schreibweise. Wir definieren eine Multiplikation auf G₁ × G₂ durch:

(x₁, x₂) · (y₁, y₂) = (x₁y₁, x₂y₂) für alle (x₁, x₂), (y₁, y₂)  ∈  G₁ × G₂.

Zeigen Sie, dass G₁ × G₂ mit dieser Multiplikation eine Gruppe ist.

Übung 7 (Der Begriff der Gruppe, VII)

Sei (G, ·) eine Gruppe. Wir definieren wieder für beliebige A, B ⊆ G:

A B = { x y | x  ∈  A, y  ∈  B }.

Ist ℘(G) mit dieser Multiplikation eine Gruppe? Welche Gruppenaxiome gelten?

Übung 8 (Der Begriff der Gruppe, VIII)

Finden Sie drei verschiedene Elemente a, b, c ≠ e der Gruppe S₄, die zusammen mit e  ∈  S₄ isomorph zur Klein’schen Vierergruppe sind, d. h. es gilt a² = b² = c³ = e und xy = z für alle x, y, z mit { x, y, z } = { a, b, c }.

Übung 9 (Folgerungen aus den Gruppenaxiomen, I)

Sei (G, ·) eine Gruppe. Zeigen oder widerlegen Sie:

(a)	Für alle x  ∈  G gilt x² = x genau dann, wenn x = e.

(b)	Für alle x, y  ∈  G gilt: Ist x y = e, so ist x = e oder y = e.

(c)	Für alle x, y  ∈  G gilt (x y)² = x² y².

Übung 10 (Folgerungen aus den Gruppenaxiomen, II)

Sei (G, ·) eine Gruppe, und sei a  ∈  G. Wir definieren f : G → G durch

f (x) = ax für alle x  ∈  G.

Zeigen Sie, dass f : G → G bijektiv ist.

Übung 11 (Folgerungen aus den Gruppenaxiomen, III)

Sei (G, ·) eine Gruppe mit neutralem Element e, und sei a  ∈  G.

Weiter sei n ≥ 1 derart, dass aⁿ = e und aⁱ ≠ e für alle 1 ≤ i < n. Zeigen Sie:

(i)	Für alle i, j mit 0 ≤ i < j < n ist aⁱ ≠ a^j.

(ii)	Für alle m  ∈  ℤ existiert ein 0 ≤ i < n mit a^m = aⁱ.

Übung 12 (Folgerungen aus den Gruppenaxiomen, IV)

Sei (G, ·) eine Gruppe mit a² = e für alle a  ∈  G. Zeigen Sie, dass die Gruppe abelsch ist.

Übung 13 (Folgerungen aus den Gruppenaxiomen, V)

Sei (G, ·) eine endliche abelsche Gruppe, und sei G = { a₁, …, a_n } mit paarweise verschiedenen a_i. Zeigen Sie, dass a₁² · … · a_n² = e.

Übung 14 (Exponentiation und Vervielfachung)

Sei (G, ·) eine Gruppe. Zeigen Sie, dass für alle a, b  ∈  G und n, m  ∈  ℤ gilt:

(i)	aⁿ a^m = a^n + m,

(ii)	(aⁿ)^m = a^{n · m},

(iii)

aⁿ bⁿ = (ab)ⁿ, falls ab = ba.

Geben Sie weiter eine Gruppe (H, ·) und a, b  ∈  H an mit a² b² ≠ (a b)².

Übung 15 (Untergruppen, I)

Sei (G, ·) eine Gruppe, und seien H₁ und H₂ Untergruppen von G.

Zeigen Sie, dass H₁ ∩ H₂ eine Untergruppe von G ist.

Übung 16 (Untergruppen, II)

Sei (G, ·) eine Gruppe, und seien H₁ und H₂ Untergruppen von G.

Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(i)	H₁ ∪ H₂ ist eine Untergruppe von G.

(ii)	Es gilt H₁ ⊆ H₂ oder H₂ ⊆ H₁.

Übung 17 (Untergruppen, III)

Sei (G, ·) eine Gruppe, und sei a  ∈  G. Zeigen Sie, dass H = { aⁿ | n  ∈  ℤ } eine Untergruppe von G ist.

Übung 18 (Untergruppen, IV)

Sei (G, ·) eine Gruppe, und sei H = { a  ∈  G | ab = ba für alle b  ∈  G }.

Zeigen Sie, dass H eine abelsche Untergruppe von G ist.

Übung 19 (Untergruppen, V)

Sei (G, ·) eine Gruppe, und seien H₁ und H₂ Untergruppen von G.

Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(i)	H₁ H₂ ist eine Untergruppe von G.

(ii)	H₁ H₂ ⊆ H₂ H₁.

(iii)

H₂ H₁ ⊆ H₁ H₂.

(iv)	H₁ H₂ = H₂ H₁.

Hierbei sei A B = { a b | a  ∈  A, b  ∈  B } für alle A, B ⊆ G.

Übung 20 (Nebenklassen und Faktorgruppen, I)

Geben Sie eine Untergruppe H der Permutationsgruppe S₃ auf { 1, 2, 3 } an, die kein Normalteiler von S₃ ist. Bestimmen Sie die Links- und Rechtsnebenklassen gH und Hg für alle g  ∈  S₃. Geben Sie weiter g₁, …, g_n an, sodass { g₁, …, g_n } ein vollständiges Repräsentantensystem sowohl für S₃/∼_H als auch für S₃/∼^H ist.

Übung 21 (Nebenklassen und Faktorgruppen, II)

Sei H ein Normalteiler von G, und sei

G/H = { aH | a  ∈  G } (= { Ha | a  ∈  G }),

aH · bH = (ab)H für alle a, b  ∈  G.

Zeigen Sie, dass diese Multiplikation wohldefiniert ist, d. h. aus aH = a′H und bH = b′H folgt stets (ab)H = (a′b′)H, und dass G/H unter dieser Multiplikation eine Gruppe bildet. Wo wird gebraucht, dass H ein Normalteiler ist?

Übung 22 (Nebenklassen und Faktorgruppen, III)

Sei (G, ·) eine Gruppe. Für alle a, b  ∈  G sei

[ a, b ] = a b a⁻¹ b⁻¹

der Kommutator von a und b, und für alle A, B ⊆ G sei

[ A, B ] = { [ a, b ] | a  ∈  A, b  ∈  B }

der Kommutator der Mengen A und B. Zeigen Sie:

(a)	[ G, G ] ist ein Normalteiler und G/[ G, G ] ist abelsch.

(b)	Ist N ein Normalteiler von G mit G/N abelsch, so ist [ G, G ] ⊆ N.

(c)	G ist genau dann auflösbar, wenn die Kette G⁰ ⊇ G¹ ⊇ G² ⊇ … in der Untergruppe { e } endet, wobei G⁰ = G und G^i + 1 = [ Gⁱ, Gⁱ ] für alle i.

Übung 23 (Nebenklassen und Faktorgruppen, IV)

Zeigen Sie, dass

S₂ ⊃ { (1, 2) }, S₃ ⊃ S⁺₃ ⊃ { (1, 2, 3) },

S₄ ⊃ S⁺₄ ⊃ { (1, 2, 3, 4), (2, 1, 4, 3), (3, 4, 1, 2), (4, 3, 2, 1) } ⊃ { (1, 2, 3, 4) }.

Ketten von Normalteilern mit kommutativen Faktoren sind.

Zeigen Sie weiter, dass [ S₅, S₅ ] = S⁺₅ und [ S⁺₅, S⁺₅ ] = S⁺₅ gilt und folgern Sie mit Hilfe der vorangehenden Übung, dass S₅ nicht auflösbar ist.

Übung 24 (Der Satz von Lagrange)

Sei (G, ·) eine endliche Gruppe mit genau n Elementen. Zeigen Sie:

aⁿ = e für alle a  ∈  G.