Aufbau und Themen des Buches

Das Buch zerfällt in die drei Abschnitte „Die Sprache der Mathematik“, „Zahlen“ und „Erste Erkundungen“. Die „Sprache der Mathematik“ versammelt, was in der Mathematik überall vorkommt und verwendet wird, so etwa Mengen und Funktionen samt ihrem elementaren begrifflichen Umfeld. Die „Zahlen“ stellen die Grundobjekte vor, mit denen die Sprache operiert und weitere Objekte bildet. Die „Ersten Erkundungen“ zeigen, was man entdecken kann, wenn man mathematische Fragestellungen genauer verfolgt. Sie sind der Beginn von großen Theorien, die sich oft gegenseitig befruchten und beleuchten.

 Die beiden ersten Abschnitte wiegen zusammen genommen in etwa so viel wie der dritte Abschnitt. Sie weisen jeweils drei Kapitel auf, während der dritte Abschnitt aus sechs Kapiteln besteht. Jedes Kapitel hat sechs Unterkapitel, an die sich eine Übungssektion mit je zweimal zwölf Übungsaufgaben anschließt. Die Übungen sind den einzelnen Unterkapiteln zugeordnet und geben dem Leser die Gelegenheit, sich die vorgestellten Begriffe zu Eigen zu machen. Es ergeben sich so 3 + 3 + 6 = 12 Kapitel mit 12 · 6 = 72 Unterkapiteln und 12 · 24 = 288 Übungsaufgaben. Hierbei wird keine Zahlenmystik angestrebt, sondern dieser Aufbau des Buches dient dazu, den Inhalten des Buches Form, Struktur und Symmetrie zu geben. Ein Ausufern einzelner Themen wird so von vorneherein unmöglich, und der Autor steht unter dem freiwilligen Zwang der Auswahl und Beschränkung. Ein „13. Kapitel“ stellt der Exkurs über Mächtigkeiten am Ende des ersten Abschnitts dar, der mit seinen irritierenden Ergebnissen und unbefriedigend beantworteten Fragen bewusst die Symmetrie stört. Der Exkurs nimmt räumlich die Hälfte eines der anderen Kapitel ein und besitzt drei Unterkapitel mit zwölf zugehörigen Übungen.

 Die klassische lineare Lektüre des Buches ist denen zu empfehlen, die Systematik, logischen Aufbau, Genauigkeit und Gründlichkeit im Sinne einer Fundamentbildung schätzen und die dafür bereit sind, die Begegnung mit mathematischen Theorien etwas zurückzustellen. Aber auch eine nichtlineare Lektüre ist möglich. Die sechs Kapitel im dritten Abschnitt sind in ihrer Anordnung nicht zufällig, aber doch auch weitgehend unabhängig voneinander. Zudem genügt dort vielfach ein Grundverständnis der mathematischen Sprache und ein Grundwissen über die Zahlen, sodass der dritte Abschnitt letztendlich nur bildlich auf den beiden ersten Abschnitten so ruht wie ein Dach auf Säulen und Säulen auf einem Fundament. Wer gerne möchte, kann mit dem zahlentheoretischen Kapitel über Teiler beginnen, selbst der Jargon der Mengen wird dort sparsam verwendet. Ergänzend kann dann bei Bedarf das erste Kapitel des zweiten Abschnitts herangezogen werden, das die Struktur der natürlichen Zahlen und insbesondere die Induktion diskutiert. In ähnlicher Weise verhält es sich mit dem Kapitel über Grenzwerte. Wir stellen dort die fundamentalen Struktureigenschaften der reellen Zahlen kurz vor, eine ausführliche Behandlung und Motivation findet der Leser im zweiten und dritten Kapitel des Abschnitts über Zahlen. Das Kapitel über Matrizen kann ohne Kenntnis des Körperbegriffs gelesen werden, erscheint mit entsprechendem Vorwissen aber in größerer Allgemeinheit. Am Ende des Kapitels über Matrizen führt eine Brücke zu den Graphen, über die man auch erst dann gehen kann, sobald man sich für Fragen der Graphentheorie interessiert. Das Kapitel über Graphen selbst ist wie das Kapitel über Teiler elementar zugänglich und sei insbesondere denen empfohlen, die den spielerischen Charakter der Mathematik schätzen. Das Kapitel über Gruppen wirkt sicherlich weniger „ad hoc“, wenn der Leser mit dem Aufbau des Zahlsystems und mit den Struktureigenschaften von bijektiven Funktionen vertraut ist, aber wer abstrakte Strukturen schätzt und als solche kennen lernen möchte, braucht hier kein Vorspiel auf dem Theater. Für das Kapitel über Wahrscheinlichkeiten schließlich ist die Kenntnis des Grenzwertbegriffs unentbehrlich.

 Im Fließtext werden oft Behauptungen aufgestellt, die in den Übungsabschnitten wieder auftauchen und bewiesen werden sollen. Der Text bleibt dort lückenhaft, wo er durch eigenständiges Denken ergänzt werden kann. Er lässt sich grob dem zuordnen, was in didaktischen Kreisen als „modifizierte Methode von Robert Moore“ bekannt ist. Moore hat fortgeschrittenen Studenten lediglich einige mathematische Begriffe und Sätze angeschrieben, die sie dann selbstständig untersuchen und beweisen sollten. In angepasster Form wurde seine Methode dann nicht nur für den wissenschaftlichen Nachwuchs, sondern auch für alle Studierenden der Mathematik angewendet. Der Lernende soll die Dinge hinterfragen und aktiv nach kreativen Antworten auf aufgeworfene Fragen suchen. Der Ansatz wurzelt in langen Traditionen der Aufklärung: „sapere aude“ steht bei Horaz, und Kant hat dies gewichtig mit „Habe Mut, dich deines eigenen Verstandes zu bedienen“ übersetzt. Für die Mathematik gilt die Interpretation: „Habe Mut, Beweise selbst zu führen.“

 Der Gedanke der eigenständigen Arbeit führt dazu, dass im ersten Abschnitt kein einziger Beweis einer elementaren Eigenschaft der behandelten Begriffe vorgeführt wird. Beweise finden sich erst dort, wo die Beweislast aufgrund ihres Gewichts nicht dem Leser überlassen werden kann und das Nachvollziehen von Argumenten den Verstand schon genug fordert. Damit die Lektüre des Buches aber auch außerhalb von begleiteten Kursen erleichtert wird, werden zu einigen Übungen Lösungshinweise gegeben, und ein Anhang stellt ausführliche Lösungsvorschläge für 3 · 8 = 24 Übungen des ersten Abschnitts bereit, also für ein Drittel der dortigen Aufgaben. Diese sind in den Übungssektionen mit einem „L“ für „Lösung“ gekennzeichnet.

 Nach diesen Bemerkungen zum Aufbau des Buches wollen wir nun noch die behandelten Themen vorstellen.

Erster Abschnitt:  Die Sprache der Mathematik

 Unter „Sprache der Mathematik“ verstehen wir hier nicht eine formale Beschreibung der Syntax mathematischer Aussagen, sondern einen relativ weit gefassten Satz an Begriffsbildungen, Sprechweisen und Konventionen, die in der Mathematik überall vorkommen, keine Merkmale einer Theoriebildung aufweisen und die jeder Mathematiker kennt und „fließend“ beherrscht. Naturgemäß spielen dabei grundlegende logische und mengentheoretische Konzepte eine wichtige Rolle.

 Wir beginnen im Kapitel „Mathematisches Argumentieren“ mit einer ausführlichen Diskussion der mathematischen Junktoren. Wir betrachten ihre Verwendung und Semantik unter verschiedenen Gesichtspunkten, und wir isolieren einige Beweismuster, zu denen die Aussagenlogik Anlass gibt. Schließlich behandeln wir die Quantoren im Zusammenspiel mit Funktionen, Relationen und Konstanten, wobei wir hier ein naives Grundverständnis des Funktions- und Relationsbegriffs annehmen. Das Kapitel endet mit einer tabellarischen Übersicht aussagenlogischer Tautologien und Quantorenregeln.

 Das zweite Kapitel widmet sich dann dem Mengenbegriff und damit dem Grundbegriff der modernen mathematischen Sprache. Wir zeigen die logischen Probleme der uneingeschränkten Zusammenfassung von Objekten zu Mengen auf und stellen dann die wichtigsten „harmlosen“ Mengenbildungen und Operationen mit Mengen zusammen. Dabei lernen wir in der Definition des geordneten Paares auch ein einfaches Beispiel für die universelle interpretative Kraft des Mengenbegriffs kennen. Schließlich führen wir Potenzmengen und allgemeinere Mengensysteme ein und diskutieren die häufig in der Mathematik anzutreffende Stufung in „Punkt, Menge von Punkten, Mengensystem von Punktmengen“.

 Das dritte Kapitel behandelt Relationen und Funktionen. Wir definieren Relationen als Mengen von geordneten Paaren und besprechen die wichtigsten Struktureigenschaften von Relationen und ihre Kombinationen, unter denen die Äquivalenzrelationen und die partiellen Ordnungen herausragen. Anschließend führen wir Funktionen als spezielle Relationen ein und versammeln die zugehörigen Begriffsbildungen, die in der Mathematik häufig verwendet werden. Ein Abschnitt über Wohldefiniertheit und Kongruenzrelationen diskutiert Funktionen im Zusammenspiel mit Relationen. Ein universelles funktionales Thema in der Mathematik ist schließlich das der Isomorphie mathematischer Strukturen, und wir geben eine elementare, aber zugleich auch sehr allgemeine Einführung in dieses Thema am Ende des Kapitels.

 Die Darstellung der mathematischen Sprache mündet in einen anspruchsvolleren Exkurs über Mächtigkeiten, den man auch als ein erstes Beispiel für eine mathematische Theoriebildung ansehen kann. Wir vergleichen die Größe von Mengen mit Hilfe von Injektionen und Bijektionen, beweisen den Satz von Cantor-Bernstein, definieren den Begriff der Unendlichkeit und zeigen, dass Größenunterschiede im Unendlichen existieren. Weiter formulieren wir die Kontinuumshypothese und deuten die Problematik an, die dem Linearkontinuum im Rahmen der üblichen Fundierung der Mathematik innewohnt.

 Der gesamte erste Abschnitt einschließlich des Exkurses kommt ohne Zahlen aus. In den Übungen gestatten wir uns aber gelegentliche Anleihen bei den Zahlen (einschließlich der Induktion), um Beispiele zur Verfügung zu haben, mit denen der Leser vertraut ist. Auch wird gegen Ende des Exkurses das Fehlen der Zahlen deutlich, sodass auch von theoretischer Seite der Beginn des zweiten Abschnitts herbeigeführt wird.

Zweiter Abschnitt:  Zahlen

 Die Zahlen als Grundobjekte der Mathematik bilden das Thema des zweiten Abschnitts. Speziell hier gilt, dass der Leser schon viel mitbringt, und wir gestatten uns deswegen einen recht detaillierten und genauen Blick auf einen untadeligen Aufbau des Zahlsystems.

 Das erste Kapitel beginnt mit einer informalen Beschreibung des Zählens. Diese Beschreibung führt uns zur Formulierung eines Induktionsprinzips und weiter zur Definition einer Dedekind-Struktur, die das Wesen des Zählens einfängt. Für interessierte Leser beweisen wir einen Isomorphiesatz und skizzieren die Möglichkeit der Konstruktion einer derartigen Struktur. Irgendeine Dedekind-Struktur dient uns dann im folgenden als Menge der natürlichen Zahlen ℕ. Aus der genuinen Nachfolgerbildung gewinnen wir mit Hilfe von rekursiven Definitionen die Addition, die Multiplikation und die Exponentiation. Danach definieren wir die Ordnung auf den natürlichen Zahlen, und wir formulieren und beweisen eine Verstärkung der vollständigen Induktion und das zugehörige Prinzip des kleinsten Elements. In einem Ausblick betrachten wir dann die rekursiv definierten Funktionen auf den natürlichen Zahlen noch genauer und gelangen so zu einer Definition der algorithmischen Berechenbarkeit einer Funktion.

 Im zweiten Kapitel führen wir mit Hilfe der natürlichen Zahlen die ganzen Zahlen ℤ und dann mit Hilfe der ganzen Zahlen die rationalen Zahlen ℚ ein. Dabei verwenden wir die eleganten Methoden der Algebra, ohne uns dabei in einem allzu theoretischen und abstrakten Umfeld zu verlieren. Am Ende der Darstellung fassen wir die „üblichen Rechenregeln“ zum Begriff eines Körpers zusammen und weiter die „üblichen Ordnungseigenschaften“ zum Begriff eines angeordneten Körpers.

 Die Frage, ob wir mit den rationalen Zahlen ein „Kontinuum“ konstruiert haben, beantworten wir im dritten Kapitel negativ, indem wir zeigen, dass die Ordnung von ℚ eher durch Lücken als durch Vollständigkeit glänzt. Im Zentrum stehen hier die Begriffe des Supremums und des Infimums, mit deren Hilfe wir die Lücken von ℚ identifizieren können. Mit Hilfe von Dedekindschen Schnitten konstruieren wir dann die reellen Zahlen ℝ. Wir zeigen die archimedische Ordnung unserer Konstruktion, die die Existenz von infinitesimalen Größen ausschließt, und wir skizzieren den Beweis einer algebraischen Charakterisierung des angeordneten Körpers der reellen Zahlen. Anschließend betrachten wir die natürliche Frage, ob wir auf ℝ², ℝ³, … eine Multiplikation einführen können, die zusammen mit der punktweisen Addition eine Körperstruktur erzeugt. Diese Frage führt uns zu den komplexen Zahlen ℂ und weiter zu einer knappen Darstellung der Hamiltonschen Quaternionen ℍ.

Dritter Abschnitt:  Erste Erkundungen

 Der letzte Abschnitt des Buches besteht aus sechs Kapiteln, die jeweils eine elementare, aber aus der Perspektive des Anfängers durchaus auch anspruchsvolle Einführung in einen mathematischen Themenbereich geben. Die Auswahl der sechs Gebiete und ihre inhaltliche Ausgestaltung ist dabei subjektiv, und sie erhebt keinerlei Anspruch auf eine vollständige Abdeckung des Wichtigsten.

 Am Anfang steht eine Untersuchung des Teilbarkeitsbegriffs der natürlichen Zahlen. Wir beweisen die elementaren Eigenschaften dieses Begriffs und untersuchen den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen. (Das ist alles viel spannender, als man es von der Schule vielleicht in Erinnerung hat.) Die Frage nach einer effektiven Berechnung des größten gemeinsamen Teilers führt uns zum Euklidischen Algorithmus, einem einzigartig schönen und fruchtbaren Juwel der Mathematik. Er liefert uns neue Einsichten über den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen, indem er diesen in effektiver Weise als Linearkombination der Zahlen darzustellen gestattet. Danach führt uns ein „Filmschnitt“ zu den Atomen der Teilbarkeitsrelation, den Primzahlen. Wir formulieren eine Reihe von Fragen, die sich bei der Betrachtung des Primzahl-Begriffs ergeben, und von denen einige bis heute ungelöst geblieben sind. Nachdem wir die Unendlichkeit der Primzahlen gezeigt haben, geben wir einen klassischen und einen modernen Beweis für den Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie, die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Als Anwendung diskutieren wir das klassische Argument für die Existenz von irrationalen Zahlen, das die Darstellung der Lücken von ℚ im zweiten Abschnitt ergänzt.

 Von der Zahlentheorie springen wir zu den Grundlagen der Analysis und studieren im zweiten Kapitel den Grenzwertbegriff. Wir betrachten konvergente Folgen und Reihen sowie Häufungspunkte von Mengen. Anschließend diskutieren wir verschiedene äquivalente Fassungen des Stetigkeitsbegriffs und beweisen die wichtigsten elementaren Sätze über stetige Funktionen. Als Ausblick führen wir den Begriff der offenen Menge ein und formulieren mit seiner Hilfe die Stetigkeit einer Funktion. Schließlich spannen wir einen Bogen zum zweiten Abschnitt, indem wir den metrischen Vollständigkeitsbegriff in Beziehung zur Existenz von Suprema und Infima bringen.

 Kapitel drei beschäftigt sich mit Matrizen, rechteckigen Gebilden aus Zahlen. Wir motivieren sie als kompakte Notationen für lineare Gleichungssysteme. Nach einem Blick auf den Lösungsraum eines derartigen Systems stellen wir den Gauß-Jordanschen Algorithmus vor, der unsere Systeme in effektiver und befriedigender Weise mit Hilfe von elementaren Matrizenumformungen löst. Anschließend betrachten wir den Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen und gelangen so zur Definition einer Matrizenmultiplikation. Zu einer ganz anderen Anwendung der Matrizen führt uns dann die Frage, wie wir den transitiven Abschluss einer endlichen Relation effektiv berechnen können. Hierzu führen wir eine neue Matrizenmultiplikation ein und diskutieren den Algorithmus von Warshall. Insgesamt ergeben sich drei Aspekte, die die fundamentale Bedeutung des Konzepts illustrieren: Matrizen als Notationen für Gleichungssysteme, Matrizen als lineare Abbildungen, Matrizen als Darstellung von Relationen.

 Die Gruppen sind das Thema der vierten Erkundung. Wir motivieren den Begriff sehr knapp mit Hilfe von endlichen Permutationen. (Für den Leser, der den zweiten Abschnitt studiert hat, sind die Struktur-Eigenschaften einer Gruppe wahrlich nichts Neues.) Wir stellen einige Beispiele für Gruppen zusammen und untersuchen Folgerungen aus den Gruppenaxiomen. Danach behandeln wir Untergruppen, Nebenklassen und Faktorgruppen, und wir beweisen den Satz von Lagrange.

 Das fünfte Kapitel gehört dem weiten Reich der endlichen Kombinatorik an und bietet eine Einführung in die Graphentheorie. Wir führen zunächst die wichtigsten Begriffe wie „Kantenzug, Weg, Kreis, Zusammenhang“ ein, um über Graphen angemessen reden zu können. Anschließend fragen wir nach der Existenz von Eulerzügen, die es erlauben, einen Graphen in einem Zug zu zeichnen. Mit dem Algorithmus von Hierholzer finden wir ein einfaches Verfahren, das es uns erlaubt, im Falle der Existenz einen Eulerzug zu konstruieren. Nach einer Diskussion der Frage, wie man ein Labyrinth algorithmisch erkundet, wenden wir uns dem viel schwierigeren Problem der Existenz eines Kreises zu, der jede Ecke eines Graphen genau einmal besucht. Wir beweisen den Satz von Dirac, der ein hinreichendes Kriterium für die Existenz eines derartigen so genannten Hamiltonkreises etabliert.

 Das Buch endet mit einer Einführung in den Begriff eines Wahrscheinlichkeitsmaßes. Wir definieren abzählbare Wahrscheinlichkeitsräume und deuten die Probleme an, die der überabzählbare Fall aufwirft. Wir verzichten vollständig auf die Einführung von Dichtefunktionen und führen stattdessen eine Integralschreibweise für diskrete Summen ein, die nicht nur elegant ist, sondern auch auf die Notationen und wichtigsten Integrationssätze der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie vorbereitet. (Erfahrungsgemäß ist das allgemeine Integral ∫ f dμ auch für Fortgeschrittene nicht leicht zu verdauen, sodass eine Vorbereitung anhand des einfachsten Falls sicher nicht schadet.) Wir verwenden unsere μ-Integrale dann zur Definition des Erwartungswerts und der Varianz einer Zufallsvariablen. Das Kapitel schließt mit einem Beweis des schwachen Gesetzes der großen Zahl und einer elementaren Formulierung seiner starken Version.